Größe eines Tests und Signifikanzniveau

Was ist der Unterschied zwischen den beiden und warum muss das Signifikanzniveau immer höher oder gleich der Größe des Tests sein?

Angenommen, Sie haben eine Zufallsstichprobe aus einer Verteilung, die einen Parameter der Werte in einem Parameterraum annimmt . Sie partitionieren den Parameterraum als und möchten die Hypothesen testen die als Null bezeichnet werden bzw. alternative Hypothesen.$X_1,\dots,X_n$$\theta$$\Theta$$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

Let bezeichnet den Probenraum aller möglichen Werte des Zufallsvektor . Ihr Ziel beim eines Testverfahrens ist es, diesen Beispielraum in zwei Teile zu unterteilen: den kritischen Bereich , der die Werte von für die Sie die Nullhypothese ablehnen (und damit Akzeptieren Sie die Alternative ) und den Akzeptanzbereich , der die Werte von für die Sie die Nullhypothese nicht ablehnen (und daher die Alternative ablehnen ).$\mathscr{X}$$X=(X_1,\dots,X_n)$$\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$$X$$H_0$$H_1$ $\mathscr{A}$$X$$H_0$$H_1$

Formal kann ein Testverfahren als messbare Funktion , wobei die offensichtliche Interpretation in Bezug auf die Entscheidungen zugunsten jeder der Hypothesen erfolgt. Der kritische Bereich ist , und der Akzeptanzbereich ist .$\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$$\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$$\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Für jedes Testverfahren definieren wir seine Potenzfunktion durch Mit anderen Worten, gibt Ihnen die Wahrscheinlichkeit, abzulehnen, wenn der Parameterwert .$\varphi$$\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

Die Entscheidung, abzulehnen, wenn ist, ist falsch . Für ein bestimmtes Problem möchten Sie möglicherweise nur die Testverfahren berücksichtigen, für die , für jedes , in dem eine bestimmte Stufe von ist Signifikanz ( ). Beachten Sie, dass das Signifikanzniveau eine Eigenschaft einer Klasse von Testverfahren ist. Wir können diese Klasse genau beschreiben als $H_0$$\theta\in\Theta_0$$\varphi$$\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$$\theta\in\Theta_0$$\alpha$$0<\alpha<1$

Für jedes einzelne Testverfahren wird die maximale Wahrscheinlichkeit , falsch abzulehnen, als Größe des Testverfahrens .$\varphi$$\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\varphi$

Aus diesen Definitionen folgt direkt, dass, sobald wir ein Signifikanzniveau und daher die Klasse akzeptabler Testverfahren bestimmt haben, jedes Testverfahren innerhalb dieser Klasse die Größe und umgekehrt. Kurz gesagt, genau dann, wenn .$\alpha$$\mathscr{T}_{\alpha}$$\varphi$$\alpha_\varphi\leq\alpha$$\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$$\alpha_\varphi\leq\alpha$