Die Summe zweier unabhängiger Gamma-Zufallsvariablen

Laut Wikipedia-Artikel über die Gamma-Verteilung :

Wenn $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ und $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , wobei $X$ und $Y$ unabhängige Zufallsvariablen, dann $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Aber ich sehe keinen Beweis. Kann mich bitte jemand auf seinen Beweis hinweisen?

Edit: Vielen Dank an Zen, und auch ich fand die Antwort als Beispiel auf der Wikipedia-Seite über charakteristische Funktionen .

Der Beweis lautet wie folgt: (1) Denken Sie daran, dass die charakteristische Funktion der Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt ihrer individuellen charakteristischen Funktionen ist; (2) Erhalten der charakteristischen Funktion eines gamma Zufallsvariable hier ; (3) Machen Sie die einfache Algebra.

Um mehr über dieses algebraische Argument zu erfahren, lesen Sie Whubers Kommentar.

Hinweis: Das OP fragte, wie die charakteristische Funktion einer Gamma-Zufallsvariablen berechnet werden soll. Wenn , dann ( in diesem Fall können Sie i als gewöhnliche Konstante behandeln )$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$$i$

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

Verwenden Sie nun Hubers Tipp: Wenn , dann ist Y = X 1 + ⋯ + X k , wobei die X i unabhängig sind E x p ( λ = 1 / θ ) . Unter Verwendung der Eigenschaft (1) haben wir daher ψ Y ( t ) = ( $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$$Y=X_1+\dots+X_k$$X_i$$\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

$$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

Tipp: Sie werden diese Dinge nicht lernen, wenn Sie auf die Ergebnisse und Beweise schauen: Bleiben Sie hungrig, berechnen Sie alles, versuchen Sie, Ihre eigenen Beweise zu finden. Selbst wenn Sie scheitern, wird Ihre Wertschätzung für die Antwort eines anderen viel höher sein. Und ja, scheitern ist in Ordnung: niemand schaut! Die einzige Möglichkeit, Mathematik zu lernen, besteht darin, zunächst um jedes Konzept und Ergebnis zu kämpfen.

Hier ist eine Antwort, bei der keine charakteristischen Funktionen verwendet werden müssen, sondern einige Ideen verstärkt werden, die für andere Zwecke in der Statistik verwendet werden. Die Dichte der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist die Faltung der Dichten. So unter für eine einfache exposition, haben wir für z > 0 , f X + Y ( z $\theta = 1$$z > 0$

$$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

On a more heuristic level: If $a$ and $b$ are integers, the Gamma distribution is an Erlang distribution, and so $X$ and $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$. The two waiting times $X$ and $Y$ are

1. independent
2. sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma($a+b,\theta$).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.