Warum muss ein Schätzer unabhängig vom Parameter sein?

Sie haben Recht, dass jeder vernünftige Schätzer eine (nicht konstante) Funktion der Daten ist (außer in einigen speziellen, wohl pathologischen Fällen, wie meinem Beispiel hier ). Es ist also richtig zu sagen, dass ein vernünftiger Schätzer durch seine Abhängigkeit von den Daten von abhängt. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass das alles mit dem Satz gemeint ist $\theta$

Zeigen Sie, dass tatsächlich ein Schätzer ist - dass es eine Funktion der , die nicht von abhängt $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

ist, dass die Formel für einen Schätzer den Parameter nicht enthalten kann. Dies soll Dinge wie , was ein perfekter Schätzer wäre (selbst wenn Sie keine Daten hätten !!), aber Sie müssten psychisch sein, um es zu berechnen :-) $\hat{\theta} = \theta$

Wie in der von Ihnen eingefügten Passage erwähnt, hängt die Verteilung einer Statistik, z. B. , abhängig von , nicht von , da eine ausreichende Statistik ist . Daher kann nicht von abhängen , um sicherzustellen, dass es die fragliche Eigenschaft hat. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

Makro
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+1 Diese Frage deckt eine interessante Unklarheit in der Sprache dieses (gut aufgenommenen, populären) Lehrbuchs auf: "abhängig von " könnte mindestens drei verschiedene Dinge bedeuten ! (1) erscheint nicht explizit in der Formel. (2) Obwohl in der Formel erscheinen könnte, ist die Formel bei Änderungen an unveränderlich . (3) wird als (möglicherweise konstante) Zufallsvariable angesehen und "abhängig" könnte im Sinne der Abhängigkeit von Zufallsvariablen beabsichtigt sein. Leider ist die versuchte Klärung ("die Verteilung ... beinhaltet nicht ") zu vage, um viel zu helfen.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Hallo @whuber - ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit (2) meinst. Ich versuche an einen Schätzer zu denken, der diese Eigenschaft hat. Meinen Sie damit, dass die Art und Weise, wie Sie den Schätzer berechnen, unabhängig von dieselbe ist ? Das scheint gleichbedeutend mit nicht in der Formel erscheint. Andernfalls müssten Sie wieder psychisch sein, um den Schätzer zu berechnen, oder? Wenn Sie Invariante in dem Sinne gemeint haben, dass der numerische Wert des Schätzers unabhängig vom Wert gleich bleibt, dann klingt das nicht nach einem sehr guten Schätzer :-) Können Sie das klarstellen?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Makro

Es ist ein subtiler Unterschied, aber es ist real. Als triviales Beispiel erscheint nach Beobachtung von Erfolgen in iid Binomial-Versuchen mit dem Parameter offensichtlich im (zulässigen) Schätzer " , "aber es ist trotzdem gültig, weil es nicht mit variiert . Subtiler (und immer noch trivialer) bei einem normalen Stichprobenproblem ist der Schätzer beinhaltet nicht nur sondern variiert tatsächlich damit - doch die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht konstant ist, ist Null und ist so gut wie sie kommen.

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

whuber

Ich denke, ich vermisse immer noch deinen Standpunkt. Im ersten Schätzer ist , also bricht den Ausdruck tatsächlich ab und es scheint besser, ihn einfach als zu schreiben . Ich glaube, ich vermisse deinen Standpunkt beim zweiten wirklich . Ich sehe dort kein und es scheint, dass da die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl ist, Null ist. Also, mit der Wahrscheinlichkeit , die nicht beinhaltet . Ich bin wahrscheinlich dicht. Wenn es für einen Kommentar zu lang ist, können wir dies vielleicht irgendwann im Chat tun.

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

Makro

Entschuldigung für den Tippfehler: Dieser zweite Schätzer sollte . Im ersten Fall wird zwischen einer Formel und ihren Werten unterschieden. (Übrigens ist Ihre Gleichung von mit nicht vollständig korrekt, da sie für fehlschlägt , wo meine Formel undefiniert ist.)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

whuber

Warum muss ein Schätzer unabhängig vom Parameter sein?

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