Für welche Verteilung ist ein getrimmter Mittelwert der Maximum-Likelihood-Schätzer?

Der Stichprobenmittelwert ist der Maximum-Likelihood-Schätzer von für eine Normalverteilung . Der Stichprobenmedian ist der Maximum-Likelihood-Schätzer von für eine Laplace-Verteilung (auch als doppelte Exponentialverteilung bezeichnet).$\mu$$\text{Normal}(\mu,\sigma)$$m$ $\text{Laplace}(m,s)$

Existiert eine Verteilung mit einem Standortparameter, für den der getrimmte Stichprobenmittelwert der Maximum-Likelihood-Schätzer ist?

Die Verteilungen, falls vorhanden, werden als Integrale der Schätzgleichungen erhalten. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Skalierungsparameter bekannt ist und die Trimmparameter, falls vorhanden, fest sind.

1. Für den Stichprobenmittelwert lautet die Schätzgleichung wir uns vorstellen, dass dies die Ableitung der logarithmischen Wahrscheinlichkeit ist, mit sehr viel Missbrauch der Notation und Verlust der Genauigkeit, haben wir d ln l ( μ ; x $${\rm E}(x-\mu)=0.$$ wobei der a- Parameter (Integrationskonstante) negativ sein muss, um sicherzustellen, dass er sich in etwas Sinnvolles integriert. $$\frac{{\rm d}\ln l(\mu;x)}{{\rm d}\mu} = x-\mu, \quad \ln l(\mu;x) = a (x-\mu)^2, \quad l(\mu;x) \propto \exp[ a(x-\mu)^2],$$ $a$
2. Für den Stichprobenmedian lautet die Schätzgleichung Integriere dies, um l ( μ ; x ) ∝ exp [ a | zu erhalten x - μ | ] , Wo wieder würden wir wählen müssenum eine als negativ zu machen Sinn. $${\rm E \, sign}(x-\mu)=0.$$ $$l(\mu;x) \propto \exp[ a|x-\mu| ],$$ $a$
3. Für den getrimmten Mittelwert lautet die Schätzgleichung Mal sehen, was es integriert: l ( μ ; x , c ) = { exp [ a ( x - μ ) 2 ] , | x - $${\rm E}\rho(x,\mu,c) = 0, \quad \rho(x,\mu,c) = \left\{ \begin{array}{ll} x-\mu, & |x-\mu|\le c, \\ 0, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$$ Sieht aus wie eine zensierte Normalität in der Mitte, aber sehen Sie sich die Schwänze an: Sie sind unpassend, wennb>0 ist. Um eine korrekte Verteilung zu erhalten, müssen wirb=0 setzen. Aber dann haben wir eine logische Inkonsistenz: Diese Verteilung müsste einigen tatsächlichen Daten in den zugeschnittenen Schwänzen ein PDF von Null geben. Dies ist selbst widersprüchlich und zeigt einige unerwünschte Nebenwirkungen des Trimmens. $$l(\mu;x, c) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp[ a(x-\mu)^2], & |x-\mu|\le c, \\ b, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$$ $b>0$$b=0$

$M$

Abgesehen von Sonderfällen wie dem Median glaube ich nicht, dass getrimmte Mittelwerte im Allgemeinen ML sind. Wenn sie es wären, wären sie bereits eine Art M-Schätzer. Wenn Sie jedoch eine Verteilung nehmen, die in der Mitte normal ist und beispielsweise exponentielle Schwänze aufweist - die Verteilung, die einem Huber-M-Schätzer entspricht -, wird für einen bestimmten Trimmgrad erwartet, dass der getrimmte Mittelwert hocheffizient ist.