Ermitteln der Varianz des Schätzers für die maximale Wahrscheinlichkeit für die Poisson-Verteilung

Wenn iid Poisson-Verteilungen mit dem Parameter ich herausgefunden, dass die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung für Daten . Daher können wir den entsprechenden Schätzer Meine Frage ist, wie würden Sie die Varianz dieses Schätzers berechnen?$K_1, \dots, K_n$$\beta$

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

Da jedes einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter folgt, weiß ich aus den Eigenschaften des Poisson, dass die Verteilung einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter folgt , aber was ist die Verteilung von ?$K_i$$\beta$$\sum_{i=1}^n K_i$$n \beta$$T$

$T$ wird verteilt ... als Poisson-Variable, skaliert mit . Daher ist die Varianz von ist .$n$$T$$1/n^2 \times n\beta$

Denken Sie daran, dass immer. Aber wenn die unabhängig sind, wie hoch ist der Wert von ? Das ist alles was Sie brauchen, um die Frage zu beantworten.

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$