Vervollständigen Sie eine ausreichende Statistik

Ich habe vor kurzem angefangen, statistische Inferenz zu studieren. Ich habe verschiedene Probleme durchgearbeitet und dieses hat mich völlig verblüfft.

Sei $X_1,\dots,X_n$ eine Zufallsstichprobe aus einer diskreten Verteilung, die mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ die Werte $\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ , wobei $\theta$ ; eine ganze Zahl ist. Zeigen Sie, dass es keine vollständige ausreichende Statistik gibt.

Irgendwelche Ideen?

self-study mathematical-statistics inference discrete-data Tony
quelle

Was hast du bisher?

Gung - Reinstate Monica

Ich kann die Wahrscheinlichkeit schreiben als:

(\frac{1}{3})^{n}

$(\frac{1}{3})^n$

θ - 1, θ, or θ + 1

$\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$

Was wissen Sie über Vollständigkeit?

Glen_b -Reinstate Monica

T

$T$

g (T)

$g(T)$

E [g (T)] = 0

$E[g(T)]=0$

g (T) = 0

$g(T)=0$

a . e .

$a.e.$

Sie müssen also ein Gegenbeispiel finden ... Welche eindeutige Zusatzstatistik können Sie aus dem Minimum & Maximum der Stichprobe entnehmen?

Scortchi - Monica wieder einsetzen

Antworten:

$n$ $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ $X_{(1)}$ $X_{(n)}$

$R=X_{(n)}-X_{(1)}$ $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E R$ $n$ $\theta$

(3) Dann sei einfach . Es ist keine Funktion von und seine Erwartung ist Null; dennoch ist es nicht gleich Null: daher ist nicht vollständig. Da minimal ausreichend ist, folgt aus Bahadurs Theorem, dass keine ausreichende Statistik vollständig ist. $g(T)=R-\E R$ $\theta$ $T$ $T$

Scortchi - Monica wieder einsetzen
quelle

Könnten Sie eine Referenz für den Satz von Bahadur geben, in dem es heißt, dass eine vollständig ausreichende Statistik nicht existiert, wenn eine minimale ausreichende Statistik nicht vollständig ist? Ich habe nach diesem Ergebnis gesucht, konnte es aber nirgendwo finden.

Hartnäckig

@StubbornAtom: Der Satz von Bahadur besagt, dass eine vollständige Statistik nur minimal ausreichend ist (vorausgesetzt, es gibt überhaupt eine ausreichend ausreichende Statistik). Sobald Sie also zeigen, dass eine minimal ausreichende Statistik vorhanden und unvollständig ist, müssen Sie sich keine Gedanken mehr über die Möglichkeit einer vollständigen, nicht minimal ausreichenden Statistik machen. (Oder natürlich über die Möglichkeit anderer vollständiger, minimal ausreichender Statistiken - sie sind alle Eins-zu-Eins-Funktionen voneinander.)

Scortchi - Reinstate Monica

Denken Sie darüber nach , hätte es einfacher gewesen , nur zu sagen , dass , minimal ausreichend zu sein , ist eine Funktion jeder erschöpfende Statistik & deshalb geht auch um die Unvollständigkeit von zu zeigen .

T

$T$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

S

$S$

g (T) = g (f (S))

$g(T)=g(f(S))$

S

$S$

Scortchi - Monica wieder einsetzen