Definition der Autokorrelationszeit (für effektive Stichprobengröße)

Ich habe in der Literatur zwei Definitionen für die Autokorrelationszeit einer schwach stationären Zeitreihe gefunden:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

Dabei ist die Autokorrelation bei Verzögerung . $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

Eine Anwendung der Autokorrelationszeit besteht darin, die "effektive Stichprobengröße" zu ermitteln: Wenn Sie $n$ Beobachtungen einer Zeitreihe haben und die Autokorrelationszeit $\tau$ , können Sie so tun, als hätten Sie

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

unabhängige Stichproben anstelle von $n$ korrelierten, um den Mittelwert zu ermitteln. Das Schätzen von $\tau$ von Daten ist nicht trivial, es gibt jedoch einige Möglichkeiten, dies zu tun (siehe Thompson 2010 ).

Die Definition ohne absolute Werte, , scheint in der Literatur üblicher zu sein; aber es gibt die Möglichkeit von . Mit R und dem "Coda" -Paket:τ a < $\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

Die "effectiveSize" -Funktion in "coda" verwendet eine Definition der Autokorrelationszeit , die oben zu äquivalent ist. Es gibt einige andere R - Pakete gibt , die Compute effektive Stichprobengröße oder Autokorrelation Zeit, und alle diejenigen , die ich habe give Ergebnisse versucht konsistent mit diesem: dass ein AR (1) -Prozess mit einem negativen AR - Koeffizienten hat mehr effektive Proben als die korrelierte Zeitfolgen. Das scheint seltsam. $\tau_a$

Offensichtlich kann dies in der Definition der Autokorrelationszeit niemals vorkommen .$\tau_b$

Was ist die korrekte Definition der Autokorrelationszeit? Stimmt etwas nicht mit meinem Verständnis der effektiven Stichprobengrößen? Das oben gezeigte Ergebnis scheint falsch zu sein ... was ist los?$n_\text{eff} > n$

Erstens ist die angemessene Definition des Begriffs "effektive Stichprobengröße" IMO mit einer ganz bestimmten Frage verbunden. Wenn sind identisch mit dem Mittelwert verteilt μ und die Varianz 1 der empirische Mittelwert μ = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$ ist ein unverzerrter Schätzer vonμ. Aber was ist mit seiner Varianz? FürunabhängigeVariablen beträgt die Varianzn-1. Für eine schwach stationären Zeitreihen, die Varianz von μ ist

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$ Die Näherung gilt für ausreichend großen. Wenn wirneff=n/τa definieren, beträgt die Varianz des empirischen Mittels für eine schwach stationäre Zeitreihe ungefährn - 1 eff , was der gleichen Varianz entspricht, als ob wirneffunabhängige Stichproben hätten. Somit istneff=n/τaeine geeignete Definition, wenn wir nach der Varianz des empirischen Durchschnitts fragen. Es könnte für andere Zwecke ungeeignet sein. $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

Bei negativer Korrelation zwischen Beobachtungen ist es durchaus möglich, dass die Varianz kleiner als ( n eff > n ). Dies ist eine bekannte Varianzreduktionstechnik in der Monto-Carlo-Integration: Wenn wir anstelle der Korrelation 0 eine negative Korrelation zwischen den Variablen einführen, können wir die Varianz reduzieren, ohne die Stichprobengröße zu erhöhen.$n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

siehe http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

und

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

für eine effektive Probengröße. Ich denke, die alternative Formulierung unter Verwendung des Verhältnisses von Stichprobenvarianz und asymptotischer Markov-Kettenvarianz über den Chargenmittelwert ist ein geeigneterer Schätzer.