Was ist der Bereich erreichbarer Korrelationen für das Paar exponentiell verteilter Zufallsvariablen und , wobei sind die Ratenparameter?
correlation
exponential
QuantIbex
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Antworten:
Es seiρmin (bzw. ρmax ) die untere (bzw. obere) Grenze der erreichbaren Korrelation zwischen X1 und X2 . Die Grenzen ρmin und werden erreicht, wenn und jeweils gegenmonoton und comonoton sind (siehe hier ). X 1 X 2ρmax X1 X2
Untere Grenzeρmin
des unteren gebunden bestimmen wir ein Paar countermonotonic exponentiellen Variablen konstruieren und deren Korrelation berechnen.
Die hier erwähnte notwendige und ausreichende Bedingung und die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation bieten eine bequeme Möglichkeit, die Zufallsvariablen X 1 zu konstruierenX1 und , so dass sie countermonotonic sind.
Man erinnere sich, dass die Exponentialverteilungsfunktion F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) ist , also ist die Quantilfunktion F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - qX2
F(x)=1−exp(−λx) .F−1(q)=−λ−1log(1−q)
Sei eine gleichmäßig verteilte Zufallsvariable, dann ist auch 1 - U gleichmäßig verteilt und die Zufallsvariablen X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) ,U∼U(0,1) 1−U
haben die Exponentialverteilung mit der Rate λ 1 bzw. λ 2 . Außerdem sind sie gegenmonoton, da X 1 = h 1 ( U ) und X 2 = h 2 ( U ) und die Funktionen h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log (
Berechnen wir nun die Korrelation von und X 2 . Durch die Eigenschaften der Exponentialverteilung haben wir E ( X 1 ) = λ - 1 1 , E ( X 2 ) = λ - 1 2 , v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 und v a r ( X. 2 ) = λ - 2X1 X2 E(X1)=λ−11 E(X2)=λ−12 var(X1)=λ−21 . Wir haben auch
E ( X 1 X 2 )var(X2)=λ−22
wobeifU(u)≡1die Dichtefunktion der Standardgleichverteilung ist. Für die letzte Gleichstellung habe ich mich aufWolframAlpha verlassen.
Somit ist
Upper boundρmax we follow a similar approach with a pair of comonotonic exponential variables.
Now, let X1=g1(U) and X2=g2(U) where
g1(x)=−λ−11log(1−x) and g2(x)=−λ−12log(1−x) ,
which are both increasing functions. So, these random variables are comonotonic and both exponentialy distributed with rates λ1 and λ2 .
To determine of the upper bound
We have
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