Erreichbare Korrelationen für exponentielle Zufallsvariablen

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Was ist der Bereich erreichbarer Korrelationen für das Paar exponentiell verteilter Zufallsvariablen und , wobei sind die Ratenparameter?X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0

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Es sei ρmin (bzw. ρmax ) die untere (bzw. obere) Grenze der erreichbaren Korrelation zwischen X1 und X2 . Die Grenzen ρmin und werden erreicht, wenn und jeweils gegenmonoton und comonoton sind (siehe hier ). X 1 X 2ρmaxX1X2

Untere Grenze
des unteren gebunden bestimmen wir ein Paar countermonotonic exponentiellen Variablen konstruieren und deren Korrelation berechnen.ρmin

Die hier erwähnte notwendige und ausreichende Bedingung und die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation bieten eine bequeme Möglichkeit, die Zufallsvariablen X 1 zu konstruierenX1 und , so dass sie countermonotonic sind. Man erinnere sich, dass die Exponentialverteilungsfunktion F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) ist , also ist die Quantilfunktion F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - qX2
F(x)=1exp(λx) .F1(q)=λ1log(1q)

Sei eine gleichmäßig verteilte Zufallsvariable, dann ist auch 1 - U gleichmäßig verteilt und die Zufallsvariablen X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) ,UU(0,1)1U haben die Exponentialverteilung mit der Rate λ 1 bzw. λ 2 . Außerdem sind sie gegenmonoton, da X 1 = h 1 ( U ) und X 2 = h 2 ( U ) und die Funktionen h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log (

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U) und h 2 ( x ) = - λ - 1 1 log ( x ) nehmen jeweils zu und ab.h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Berechnen wir nun die Korrelation von und X 2 . Durch die Eigenschaften der Exponentialverteilung haben wir E ( X 1 ) = λ - 1 1 , E ( X 2 ) = λ - 1 2 , v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 und v a r ( X. 2 ) = λ - 2X1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12 . Wir haben auch E ( X 1 X 2 )var(X2)=λ22 wobeifU(u)1die Dichtefunktion der Standardgleichverteilung ist. Für die letzte Gleichstellung habe ich mich aufWolframAlpha verlassen.

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1

Somit ist

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
Note that the lower bound doesn't depend on the rates λ1 and λ2, and that the correlation never reaches 1, even when both margins are equal (i.e., when λ1=λ2).

Upper bound
To determine of the upper bound ρmax we follow a similar approach with a pair of comonotonic exponential variables. Now, let X1=g1(U) and X2=g2(U) where g1(x)=λ11log(1x) and g2(x)=λ21log(1x), which are both increasing functions. So, these random variables are comonotonic and both exponentialy distributed with rates λ1 and λ2.

We have

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
and thus,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
Similarly to the lower bound, the upper bound doesn't depend on the rates λ1 and λ2.
QuantIbex
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Thanks for your calculations. I just wanted to add that ρmax=1 could have been found immediately, noticing that X1 and X2 are of the same type: λ1λ2X1 has distribution Exp(λ2), i.e. the same distribution of X2.
user48713
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(+1). Note that the upper bound is obvious upon observing two exponential variables differ only by a scale factor. It is equally obvious that the lower bound cannot attain 1 when λ1λ2 (for otherwise the skewness would be zero).
whuber