Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit mit mehreren Bedingungen

Angenommen, ich habe zwei Ereignisse, A und B, und einige Verteilungsparameter $\theta$ , und ich möchte $P(A | B,\theta)$ .

Die einfachste Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist also, dass bei einigen Ereignissen A und B . Wenn also mehrere Ereignisse zu bedingen sind, wie ich es oben getan habe, kann ich dann sagen, dass $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ oder schaue ich das total falsch an? Ich neige dazu, mich selbst zu nerven, wenn ich mit Wahrscheinlichkeit zu tun habe. Ich bin mir nicht sicher, warum. $P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$

probability conditional-probability Splanky222
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Was ist die Vereinigung von

und

A

$A$

B, θ

$B,\theta$

Ana SH

Antworten:

Du kannst einen kleinen Trick machen. Lassen . Jetzt kannst du schreiben $(B \cap \theta) = C$

Das Problem reduziert sich auf das einer bedingten Wahrscheinlichkeit mit nur einer Bedingung:

P (A | B, θ) = P (A | C) .

$P(A|B, \theta) = P(A|C).$

P (A | C) = \frac{P (A \cap C)}{P (C)}

$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$

$(B \cap \theta)$ $C$

\frac{P (A \cap C)}{P (C)} = \frac{P (A \cap (B \cap θ))}{P (B \cap θ)}

$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$

Und das ist das Ergebnis, zu dem Sie gelangen wollten. Lassen Sie uns dies in genau der Form schreiben, die Sie hatten, als Sie die Frage ursprünglich stellten:

P (A | B, θ) = \frac{P (A \cap B \cap θ)}{P (B \cap θ)}

$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$

Was deine zweite Frage betrifft, warum ist es diese Wahrscheinlichkeit, die dich aus der Fassung bringt? Es ist eine der Erkenntnisse aus der psychologischen Forschung, dass Menschen nicht sehr gut darin sind, probabilistisch zu argumentieren ;-). Es war ein bisschen schwierig für mich, eine Referenz zu finden, auf die ich Sie verweisen kann. Aber die Arbeit von Daniel Kahneman ist in dieser Hinsicht sicherlich sehr wichtig.

Jens Kouros
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Ich denke, dass Sie das wahrscheinlich wollen:

P (EIN | B, θ) = \frac{P (EIN \cap B | θ)}{P (B | θ)}

$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$

Ich finde es oft verwirrend, darüber nachzudenken, wie man Wahrscheinlichkeiten manipuliert. Bei mehreren Bedingungen finde ich es am einfachsten, sich das so vorzustellen:

$\rm{P}(A|B)$ $\theta$
$\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$
$\theta$ $\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$

TooTone
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Wäre nicht P (A | B) = P (B und A) / P (B)? Wäre so etwas nicht richtig? P (A | B, C) = P (C und B und A) / P (C und B)

DashControl

@DashControl Ja, und wenn Sie den Ausdruck von TooTone erweitern, erhalten Sie genau das gleiche Ergebnis. Sie sind das gleiche :)

Josh Chen

P (A | B, θ) = (P (A PB | θ) * P (θ)) / (P (B | θ) * P (θ)) = P (A∩B∩θ) / P ( B∩θ)

o0omycomputero0o

IMHO, das ist ein sehr schlechter Ansatz! stats.stackexchange.com/a/67382/82135 ist definitiv strenger.