Gibt es ein Gesetz, das besagt, dass seltene Dinge passieren, wenn Sie genug Prüfungen durchführen?

16

Ich versuche ein Video über geladene Würfel zu machen, und an einem Punkt im Video werfen wir ungefähr 200 Würfel, nehmen alle Sechser, werfen diese erneut und nehmen alle Sechser und werfen diese ein drittes Mal. Wir hatten einen Würfel, der dreimal hintereinander 6 Mal auftauchte, was offensichtlich nicht ungewöhnlich ist, da es eine Chance von 1/216 geben sollte und wir ungefähr 200 Würfel hatten. Wie erkläre ich also, dass es nicht ungewöhnlich ist? Es scheint nicht ganz wie das Gesetz der großen Zahlen. Ich möchte etwas sagen wie "Wenn Sie genug Tests durchführen, werden auch unwahrscheinliche Dinge passieren", aber mein Partner sagte, die Leute könnten Probleme mit der "gebundenen" Terminologie haben.

Gibt es einen Standardweg, um dieses Konzept zu formulieren?

Cassandra Gelvin
quelle
Die Wahrscheinlichkeit p = 1 / n bedeutet im Grunde, dass Sie 1 Erfolg pro n Tiralen haben. Dies ist, was es bedeutet und wie es überprüft wird. Wenn Sie nicht 1 Erfolg pro n Experimente sehen, melden Sie uns eine falsche Wahrscheinlichkeit. Nun sagen Sie, dass n groß ist. Aber was ist der Unterschied, wenn Sie auch sagen, dass Sie viel mehr Experimente machen können als n? Ich meine, Sie brauchen kein Gesetz außer der Definition der Wahrscheinlichkeit. Mich interessiert eher, warum die Wahrscheinlichkeit, in n Studien erfolgreich zu sein, nicht 1 beträgt.
Val
3
@Val Ihre Kommentare müssen in besonderer Weise gelesen werden, um nicht missverstanden zu werden! Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beträgt , ist es tatsächlich wahrscheinlich, dass das Ereignis in unabhängigen Versuchen nicht beobachtet wird . (Die Wahrscheinlichkeit, es nicht zu beachten, liegt nahe bei für großes ). Sie scheinen also bezüglich Ihrer Behauptung, seltene Wahrscheinlichkeiten zu prüfen, falsch zu liegen. Ich glaube, Sie machen einen Fehler, wenn Sie Wahrscheinlichkeiten mit Frequenzen in Konflikt bringen: Sie unterscheiden sich definitiv sowohl konzeptionell als auch in der Praxis. 1/nn1/e0.37n
Whuber
Mein Erfolg = Ihre Beobachtung. Ich verstehe nicht, warum Sie diese präzise klare Aussage neu interpretiert und alles neu definiert haben. Zweitens, obwohl ich immer geglaubt habe, dass die Wahrscheinlichkeit etwas Theoretisches ist (in der Wahrscheinlichkeitstheorie kombinatorisch berechnet), während die Frequenz ihre statistische (dh experimentelle) Bestätigung ist, besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass die Häufigkeit bei einer großen Anzahl von Experimenten zur Wahrscheinlichkeitswahrscheinlichkeit konvergiert, und ich sehe nein Grund, den Unterschied zumindest in diesem Fall hervorzuheben.
Val
1
Ich verstehe deine letzten beiden Kommentare nicht. Ich interpretiere die Wörter, die Sie verwenden, so, wie ich es für Standard halte. Insbesondere unterstreiche ich die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit nicht gleich einer beobachteten Häufigkeit ist, wie es Ihr erster Satz zu sagen scheint. Wenn eine Wahrscheinlichkeit ist , nebenbei gesagt, dann ist nicht eine „große Anzahl von Experimenten“ mit irgendwelchen Mitteln: Es wird zwischen dem beobachteten Häufigkeiten und die darunter liegenden Wahrscheinlichkeiten große Abweichungen. Dies hängt nicht mit der Berücksichtigung doppelter Werte zusammen. 1/nn
Whuber

Antworten:

12

Sie könnten erklären , dass man auch als ein Ereignis spezifiziert a priori , die Wahrscheinlichkeit , dass es tritt nicht gering ist. Tatsächlich ist es nicht so schwer, die Wahrscheinlichkeit von drei oder mehr Sechserwürfen in einer Reihe für mindestens einen Würfel von 200 zu berechnen.

[Übrigens gibt es eine nette ungefähre Berechnung, die Sie verwenden können - wenn Sie Versuche dort haben , gibt es eine Wahrscheinlichkeit von eines "Erfolges" (für nicht zu klein), die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem "Erfolg" ist ungefähr . Im Allgemeinen beträgt die Wahrscheinlichkeit für Versuche etwa . In Ihrem Fall suchen Sie in Versuchen nach einer Wahrscheinlichkeit von wobei und , also , was einer Wahrscheinlichkeit von etwa 60% entspricht, dass Sie 3 Sechser in sehen werden eine Reihe mindestens einmal aus den 200 Sätzen von 3 Rollen.1 / n n 1 - 1 / e k n 1 - e - k m = k n 1 / n n = 216 m = 200 k = 200 / 216n1/nn11/ekn1ekm=kn1/nn=216m=200k=200/216

Ich weiß nicht, dass diese spezifische Berechnung einen bestimmten Namen hat, aber der allgemeine Bereich seltener Ereignisse mit vielen Versuchen hängt mit der Poisson-Verteilung zusammen. Tatsächlich wird die Poisson-Verteilung selbst manchmal als " Gesetz seltener Ereignisse " und gelegentlich sogar als " Gesetz kleiner Zahlen " bezeichnet (wobei "Gesetz" in diesen Fällen "Wahrscheinlichkeitsverteilung" bedeutet).]

-

Wenn Sie dieses spezielle Ereignis jedoch nicht vor dem Rollen spezifiziert haben und erst danach sagen: „ Hey, wow, wie stehen die Chancen dafür? ', dann ist deine Wahrscheinlichkeitsberechnung falsch, weil sie alle anderen Ereignisse ignoriert, zu denen du sagen würdest' Hey, wow, wie stehen die Chancen dafür? '.

Sie haben das Ereignis erst angegeben, nachdem Sie es beobachtet haben, wofür 1/216 nicht gilt, auch wenn nur ein Würfel vorhanden ist.

Stellen Sie sich vor, ich habe eine Schubkarre voller kleiner, aber unterscheidbarer Würfel (vielleicht haben sie kleine Seriennummern) - sagen wir, ich habe zehntausende von ihnen. Ich kippe die Schubkarre voller Würfel aus:

die #    result
00001      4
00002      1
00003      5
 .         .
 .         .
 .         .
09999      6
10000      6

... und ich gehe: "Hey! Wow , wie hoch sind die Chancen, dass ich 4 für die Nummer 1 und 1 für die Nummer 2 und ... und 6 für die Nummer 999 und 6 bekomme?" auf die # 10000? "

Diese Wahrscheinlichkeit ist oder ungefähr . Das ist ein erstaunlich seltenes Ereignis! Etwas Erstaunliches muss los sein. Lass mich es nochmal versuchen. Ich schaufele sie alle wieder hinein und kippe die Schubkarre wieder heraus. Wieder sage ich "hey, wow, was sind die Chancen?" und wieder stellt sich heraus, dass ich ein Ereignis von solch erstaunlicher Seltenheit habe, dass es nur einmal im Leben eines Universums oder so etwas passieren sollte. Was geht?3,07×10–778216100003.07×107782

Einfach gesagt, ich nichts tue , aber nach der Tat angegeben versuchen , die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen , als ob es angegeben worden wäre , a priori . Wenn du das tust, bekommst du verrückte Antworten.

Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
quelle
15
Weißt du, das Erstaunlichste ist mir heute Abend passiert. Ich kam auf dem Weg zur Vorlesung hierher und kam durch den Parkplatz herein. Und Sie werden nicht glauben, was passiert ist. Ich habe ein Auto mit dem Nummernschild ARW 357 gesehen. Können Sie sich vorstellen? Wie groß war die Chance, dass ich unter den Millionen von Nummernschildern in diesem Bundesstaat heute Abend eines sehen würde? Tolle! - Richard Feynman .
Gerrit
Das verlangt das OP nicht. Dies ähnelt eher dem "Antrophischen Prinzip" (gibt es einen allgemeineren Begriff dafür?), Während der Begriff, den das OP fragt, eher dem "Gesetz der wirklich großen Zahlen" ähnelt.
Lie Ryan
3
@LieRyan Wenn die Frage des OP einen impliziten Argumentationsfehler enthält, auf den eine gewöhnliche Wahrscheinlichkeitsberechnung nicht angewendet werden sollte, wäre es falsch , darauf nicht klar hinzuweisen. Selbst wenn es nur eine gute Möglichkeit gibt, dass ein Problem besteht, sollte dies klar herausgestellt werden. Da es keinen Hinweis darauf gab, dass das Ereignis tatsächlich vor der Beobachtung spezifiziert wurde, muss darauf hingewiesen werden. Das erforderliche Detail, um genau zu vermitteln, warum es sich um ein Problem handelt, besteht aus mehr als ein paar Sätzen. Ich spreche mit der direkten Frage in meinem ersten Absatz, erkläre dann aber, warum es ein Problem gibt.
Glen_b
1
Nur zur Klarstellung war es a priori.
Cassandra Gelvin
3

Ich denke, dass Ihre Aussage "Wenn Sie genug Tests durchführen, werden auch unwahrscheinliche Dinge passieren" besser ausgedrückt werden als "Wenn Sie genug Tests durchführen, werden auch unwahrscheinliche Dinge passieren". Für ein Wahrscheinlichkeitsthema ist "gebunden, um zu geschehen" ein wenig zu eindeutig, und ich denke, die Assoziation von unwahrscheinlich mit wahrscheinlich in diesem Zusammenhang macht den Punkt aus, den Sie versuchen, zu überschreiben.

Robert Jones
quelle
Ich stimme nicht zu, "muss passieren" ist richtig. Es sei denn , die Würfel in Ordnung gebracht wird , um den unwahrscheinlichen Fall zu vermeiden, dann ist es wird passieren. Wenn dies nicht der Fall ist, haben Sie einfach nicht genug Tests durchgeführt, oder es handelt sich nicht um "unwahrscheinliche Dinge", sondern um "unmögliche Dinge".
Lie Ryan
Technisch gesehen ist ein Ereignis nur dann "gebunden", wenn Sie es unendlich oft versuchen. Es ist eine Asymptote. Wahrscheinlichkeit hat kein Gedächtnis; theoretisch könnte ich von jetzt an bis zum hitzetod des universums jede sekunde eine faire münze werfen und nur köpfe bekommen. Alles in allem ist das ein sehr unwahrscheinliches Ereignis, aber jeder Flip ist immer noch eine 50/50-Chance, so dass es zu keinem Zeitpunkt sicher ist, dass ich Schwänze bekomme. Auch bei einer Vielzahl von Studien ist dieses unwahrscheinliche Ereignis für eine einzelne Studie noch genauso unwahrscheinlich - es könnte niemals eintreten.
Anaximander
1
Natürlich, das davon ausgeht , dass Sie wissen , die Wahrscheinlichkeiten für Ihre Veranstaltungen. In der realen Welt müssen Sie nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen darauf hinweisen, dass Ihre Berechnungen Ihnen eine 99,999% ige Chance geben, das unwahrscheinliche Ereignis mindestens einmal zu sehen, und Sie haben es immer noch nicht gesehen, also ist es vielleicht weniger wahrscheinlich als Sie dachten (oder vielleicht sogar unmöglich).
Anaximander
0q<1nnqεn>Log(1-q)/Log(1-ε)
1

Ich denke, Sie brauchen ein Null-Eins-Gesetz. Das bekannteste von diesen ist das Kolmogorov-Null-Eins-Gesetz , das besagt, dass jedes Ereignis in dem Ereignisraum, an dem wir interessiert sind, irgendwann mit Wahrscheinlichkeit 1 oder niemals mit Wahrscheinlichkeit 1 eintreten wird. Das heißt, es gibt kein Grau Bereich von Ereignissen, die passieren können.

Owensmartin
quelle
1
Ich glaube, Kolmogorovs Gesetz gilt nur für Endereignisse, nicht für "jedes Ereignis, an dem wir interessiert sind". Möglicherweise können Sie dieses Gesetz auf allgemeine Ereignisse anwenden, um Licht in die Frage zu bringen. Hier wäre jedoch eine Erklärung hilfreich, wie Sie dies tun können.
Whuber
Dies ist ein guter Kommentar: Ich denke, die genaue Definition des Schwanzereignisses ist genau das, wonach wir suchen, um dies zu lösen. Ich werde ein paar Nachforschungen anstellen.
Owensmartin