Korrelation von logarithmisch normalen Zufallsvariablen

Gegeben und X 2 normale Zufallsvariablen mit Korrelationskoeffizienten ρ , wie finde ich die Korrelation zwischen lognormal folgenden Zufallsvariablen Y 1 und Y 2 ?$X_1$$X_2$$\rho$$Y_1$$Y_2$

$Y_1 = a_1 \exp(\mu_1 T + \sqrt{T}X_1)$

$Y_2 = a_2 \exp(\mu_2 T + \sqrt{T}X_2)$

Wenn nun und X 2 = & sgr; 1 Z 2 , wobei Z 1 und Z 2 Standardnormalen sind, erhalten wir aus der linearen Transformationseigenschaft:$X_1 = \sigma_1 Z_1$$X_2 = \sigma_1 Z_2$$Z_1$$Z_2$

$Y_1 = a_1 \exp(\mu_1 T + \sqrt{T}\sigma_1 Z_1)$

$Y_2 = a_2 \exp(\mu_2 T + \sqrt{T}\sigma_2 (\rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2}Z_2)$

Wie geht es nun weiter, um die Korrelation zwischen und Y 2 zu berechnen ?$Y_1$$Y_2$

Ich gehe davon aus, dass und X 2 ≤ N ( 0 , σ 2 2 ) ist . Bezeichne Z i = exp ( $X_1\sim N(0,\sigma_1^2)$$X_2\sim N(0,\sigma_2^2)$. Dann$Z_i=\exp(\sqrt{T}X_i)$

so dassZilognormalsind. Somit

$$\begin{align} \log(Z_i)\sim N(0,T\sigma_i^2) \end{align}$$ $Z_i$

und E Y

$$\begin{align} EZ_i&=\exp\left(\frac{T\sigma_i^2}{2}\right)\\ var(Z_i)&=(\exp(T\sigma_i^2)-1)\exp(T\sigma_i^2) \end{align}$$ $$\begin{align} EY_i&=a_i\exp(\mu_iT)EZ_i\\ var(Y_i)&=a_i^2\exp(2\mu_iT)var(Z_i) \end{align}$$

Dann verwenden wir die Formel für mgf der multivariaten Normalen, die wir haben

$$\begin{align} EY_1Y_2&=a_1a_2\exp((\mu_1+\mu_2)T)E\exp(\sqrt{T}X_1+\sqrt{T}X_2)\\ &=a_1a_2\exp((\mu_1+\mu_2)T)\exp\left(\frac{1}{2}T(\sigma_1^2+2\rho\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2)\right) \end{align}$$ So $$\begin{align} cov(Y_1,Y_2)&=EY_1Y_2-EY_1EY_2\\ &=a_1a_2\exp((\mu_1+\mu_2)T)\exp\left(\frac{T}{2}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\right)(\exp(\rho\sigma_1\sigma_2T)-1) \end{align}$$

Now the correlation of $Y_1$ and $Y_2$ is covariance divided by square roots of variances:

$$\begin{align} \rho_{Y_1Y_2}=\frac{\exp(\rho\sigma_1\sigma_2T)-1}{\sqrt{\left(\exp(\sigma_1^2T)-1\right)\left(\exp(\sigma_2^2T)-1\right)}} \end{align}$$