Korrelation von logarithmisch normalen Zufallsvariablen

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Gegeben und X 2 normale Zufallsvariablen mit Korrelationskoeffizienten ρ , wie finde ich die Korrelation zwischen lognormal folgenden Zufallsvariablen Y 1 und Y 2 ?X1X2ρY1Y2

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

Wenn nun und X 2 = & sgr; 1 Z 2 , wobei Z 1 und Z 2 Standardnormalen sind, erhalten wir aus der linearen Transformationseigenschaft:X1=σ1Z1X2=σ1Z2Z1Z2

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1-ρ2Z2)

Wie geht es nun weiter, um die Korrelation zwischen und Y 2 zu berechnen ?Y1Y2

user862
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@ user862, Hinweis: Benutze die chraktoristische Funktion der bivariaten Normalen.
mpiktas
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Siehe Gleichung (11) in stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/… (aber achten Sie auf den schrecklichen Schriftsatz).
whuber

Antworten:

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Ich gehe davon aus, dass und X 2N ( 0 , σ 2 2 ) ist . Bezeichne Z i = exp ( X1N(0,σ12)X2N(0,σ22). DannZi=exp(TXi)

so dassZilognormalsind. Somit

log(Zi)N(0,Tσi2)
Zi

und E Y i

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

Dann verwenden wir die Formel für mgf der multivariaten Normalen, die wir haben

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
So
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Now the correlation of Y1 and Y2 is covariance divided by square roots of variances:

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)
mpiktas
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Note that as long as the approximation ex1+x is valid on the final formula found above one has ρY1Y2ρ.
danbarros