Maximum Likelihood Estimator - Konfidenzintervall

Verwenden Sie die Tatsache, dass für eine iid-Stichprobe der Größe unter bestimmten Regelmäßigkeitsbedingungen der MLE ein konsistenter Schätzer des wahren Parameters und seiner asymptotisch normalen Verteilung ist, wobei die Varianz durch den Kehrwert von bestimmt wird Fischerinformation: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ wobei die Fisher-Information aus einer einzelnen Stichprobe ist. Die beobachteten Informationen im MLE tendieren asymptotisch zu den erwarteten Informationen, sodass Sie Konfidenzintervalle (z. B. 95%) mit berechnen können

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Wenn beispielsweise eine Poisson-Variable mit Null-Kürzung ist, können Sie eine Formel für die beobachteten Informationen in Bezug auf die MLE erhalten (die Sie numerisch berechnen müssen): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Bemerkenswerte Fälle, die von den Regelmäßigkeitsbedingungen ausgeschlossen sind, umfassen solche, in denen

Der Parameter bestimmt die Unterstützung der Daten, z. B. Stichproben aus einer gleichmäßigen Verteilung zwischen nichts und $\theta$ $\theta$
Die Anzahl der Störparameter nimmt mit der Stichprobengröße zu

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quelle

Gilt diese Methode unverändert, wenn es Einschränkungen für , z. B. ? Was ist mit einem MLE für Parameter , so dass und ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

quant_dev

Wenn , dh der wahre Wert ist nicht gleich einer der Grenzen.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

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Wenn undWürde das nicht bedeuten, dass die normale Annäherung nicht anwendbar ist und ich mehr Proben benötige?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

quant_dev

Ja, es ist nur ein asymptotisches Konfidenzintervall.

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@quant_dev: Nein: Sie würden nach einer Transformation der Parameter suchen, die die normale Näherung anständig gemacht haben - oder eine andere Methode verwenden.

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Maximum Likelihood Estimator - Konfidenzintervall

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