Ich habe die Bedeutung der positiven semidefiniten Eigenschaft von Korrelations- oder Kovarianzmatrizen untersucht.
Ich suche Informationen zu
- Definition der positiven Halbbestimmtheit;
- Seine wichtigen Eigenschaften, praktische Implikationen;
- Die Konsequenz einer negativen Determinante, Auswirkung auf multivariate Analyse- oder Simulationsergebnisse usw.
Antworten:
Die Varianz einer gewichteten Summe von Zufallsvariablen darf für alle Auswahlen von reellen Zahlen a i nicht negativ sein . Da die Varianz als var ausgedrückt werden kann∑icheinichXich einich
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Die Antwort ist ganz einfach.
Die Korrelationsmatrix ist folgendermaßen definiert:
Lassen Sie sei die m × n- Datenmatrix: m Beobachtungen, n Variablen.X=[x1,x2,...,xn] m×n m n
Definiere als die Matrix normalisierter Daten, wobeiμ1ein Mittelwert für die Variable 1 ist,μ2 einMittelwert für die Variable 2 usw. ist unds1die Standardabweichung für die Variable 1 usw. ist undeein Vektor aller 1s ist .Xb=[(x1−μ1e)s1,(x2−μ2e)s2,(x3−μ3e)s3,...] μ1 μ2 s1 e
Die Korrelationsmatrix ist dann
Eine Matrix ist positiv semidefinit, wenn es keinen Vektor z gibt, so dass z ' A z < 0 ist .A z z′Az<0
Angenommen, ist nicht eindeutig positiv. Dann existiert ein Vektor w, so dass w ' C w < 0 ist .C w′Cw<0
Jedoch wobeiz=Xbwund somitw'Cweine Summe von Quadraten ist und daher nicht kleiner als Null sein kann.(w′Cw)=(w′X′bXbw)=(Xbw)′(Xbw)=z21+z22... z=Xbw w′Cw
Somit ist nicht nur die Korrelationsmatrix, sondern jede Matrix , die in der Form V ' V geschrieben werden kann, positiv semidefinit.U V′V
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(Mögliche Ungenauigkeit in der Argumentation wäre meine. Ich bin kein Mathematiker: Dies ist eine Darstellung, kein Beweis und stammt aus meinen numerischen Experimenten, nicht aus Büchern.)
Abb1.
Abb2.
Abb. 3.
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