Wann liegt die Binomialverteilungsfunktion über / unter ihrer begrenzenden Poisson-Verteilungsfunktion?

Es sei die Binomialverteilungsfunktion (DF) mit Parametern und die bei ausgewertet werden. : und lassen Sie den Poisson-DF mit dem Parameter a \ in \ mathbb R ^ + bezeichnen , der bei r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} ausgewertet wird : \ begin {equation} F (a , r) = e ^ {- a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i!}. \ end {equation}$B(n,p,r)$$n \in \mathbb N$$p \in (0,1)$$r \in \{0,1,\ldots,n\}$F(v,r)a∈R

$$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$$ $F(\nu,r)$$a \in \mathbb R^+$F ( a , r ) = e - a r ∑ i = 0 a $r \in \{0,1,2,\ldots\}$ $$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$$

Betrachte $p \rightarrow 0$ und lasse $n$ als $\lceil a/p-d \rceil$ , wobei $d$ eine Konstante in der Größenordnung von $1$ . Da $np \rightarrow a$ , konvergiert die Funktion B (n, p, r) bekanntlich für alle r$B(n,p,r)$ gegen F (a, r) .$F(a,r)$$r$

Mit der obigen Definition für $n$ bin ich daran interessiert, die Werte von $a$ zu bestimmen, für die

$$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$$ und in ähnlicher Weise diejenigen, für die $$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$$ Ich konnte nachweisen, dass die erste Ungleichung für $a$ Wert kleiner als $r$ . genauer gesagt für $a$ niedrigeres als ein bestimmtes gebundenes $g(r)$ mit $g(r)<r$ . Ebenso gilt die zweite Ungleichung für $a$ ausreichend größer als $r$ , dh für $a$größer als eine bestimmte Grenze $h(r)$ , mit $h(r)>r$ . (Die Ausdrücke der Grenzen $g(r)$ und $h(r)$ sind hier irrelevant. Ich werde die Details für alle Interessierten zur Verfügung stellen.) Jedoch numerische Ergebnisse deuten darauf hin , dass diese Ungleichheiten für weniger strenge Grenzen halten, das heißt, für $a$ näher $r$ als ich beweisen kann.

Ich würde also gerne wissen, ob es einen Satz oder ein Ergebnis gibt, das festlegt, unter welchen Bedingungen jede Ungleichung gilt (für alle $p$ ). das heißt, wenn garantiert ist, dass der binomische DF über / unter seinem begrenzenden Poisson-DF liegt. Wenn ein solcher Satz nicht existiert, wäre jede Idee oder jeder Hinweis in die richtige Richtung wünschenswert.

Bitte beachten Sie, dass eine ähnliche Frage in Bezug auf unvollständigen Beta- und Gamma - Funktionen ausdrückte, wurde veröffentlicht in math.stackexchange.com bekam aber keine Antwort.

In Bezug auf Folgendes:

• der Mittelwert einer Binomialdistanz ist$np$

• die Varianz ist$np(1-p)$

• der Mittelwert einer Poisson-Distanz ist , was wir uns als vorstellen könnenn × $\lambda$$n\times p$

• Die Varianz eines Poisson entspricht dem Mittelwert

Wenn nun ein Poisson die Grenze für ein Binom mit den Parametern und , so dass auf unendlich ansteigt und auf null abfällt, während ihr Produkt konstant bleibt, dann wird der Ausdruck angenommen, dass und nicht zu ihren jeweiligen Grenzen konvergieren ist immer größer als , daher ist die Varianz von Binomial geringer als die von Poisson. Das würde bedeuten, dass sich das Binomial unten im Schwanz und oben an anderer Stelle befindet.p n p n p n p n p ( 1 - p $n$$p$$n$$p$$n$$p$$np$$np(1-p)$