Ich möchte

Sei eine Zufallsvariable im Wahrscheinlichkeitsraum Zeige, dass$X:\Omega \to \mathbb N$$(\Omega,\mathcal B,P)$

$$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$$

Meine Definition von ist gleich $E(X)$

$$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$$

Vielen Dank.

Die Definition von für diskretes ist .$E(X)$$X$$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

$$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$$

Damit

$$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$$

(Wir ordnen die Begriffe im letzten Ausdruck neu)

$$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$$

qed

Ich mag die Antwort von Januar. Darf ich einen Weg vorschlagen, die Serie aufzuschreiben, damit das Auge die Neuanordnung leichter erkennt (so schreibe ich sie gerne an die Tafel)? (Die Neuanordnung ist mathematisch fundiert, da dies eine Reihe positiver Begriffe ist .)

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$$

Ich denke, die Standardmethode hierfür ist das Schreiben

$$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$$

$$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$$

und dann umgekehrte Reihenfolge von Erwartung und Summe (nach Tonellis Theorem)

Eine der anderen hervorragenden Antworten hier (von seanv507 ) hat festgestellt, dass diese Erwartungsregel tatsächlich aus einem stärkeren Ergebnis folgt, das die zugrunde liegende Zufallsvariable als unendliche Summe von Indikatorvariablen ausdrückt. Es ist möglich, ein allgemeineres Ergebnis zu beweisen, und dies kann verwendet werden, um die Erwartungsregel in der Frage zu erhalten. Wenn (seine Unterstützung ist also nicht breiter als die natürlichen Zahlen), kann gezeigt werden (Beweis unten), dass:$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

$$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$$

Wenn Sie das nützliche Ergebnis:$m \rightarrow \infty$

$$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$$

Es ist erwähnenswert, dass dieses Ergebnis stärker ist als die Erwartungsregel in der Frage, da es eine Zerlegung für die zugrunde liegende Zufallsvariable und nicht nur für ihren Moment ergibt. Wie in der anderen Antwort erwähnt, ergibt sich aus der Erwartung beider Seiten dieser Gleichung und der Anwendung des Tonelli-Theorems (um die Reihenfolge der Summen- und Erwartungsoperatoren zu vertauschen) die Erwartungsregel in der Frage. Dies ist eine Standarderwartungsregel, die beim Umgang mit nicht negativen Zufallsvariablen verwendet wird.

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Das obige Ergebnis kann ziemlich einfach bewiesen werden. Beachten Sie zunächst Folgendes:

$$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$$

Für jedes wir daher:$m \in \mathbb{N}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$$