Was ist der Median einer nicht zentralen t-Verteilung?

Was ist der Median der nicht zentralen t-Verteilung mit dem Nicht-Zentralitätsparameter ? Dies kann eine hoffnungslose Frage sein, da die CDF als unendliche Summe ausgedrückt zu sein scheint und ich keine Informationen über die inverse CDF-Funktion finden kann.$\delta \ne 0$

Sie können es annähern.

Zum Beispiel habe ich die folgenden nichtlinearen Anpassungen für (Freiheitsgrade) von 1 bis 20 und δ (Nichtzentralitätsparameter) von 0 bis 5 (in Schritten von 1/2) vorgenommen. Lassen$\nu$$\delta$

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

und

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

$g$$\nu=1$$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

$a$$b$$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

$\nu$

$\delta$$\nu=1$ $\delta$

Die Residuen sind im Vergleich zu den Medianen wirklich klein.

$\delta$$\nu$

$\delta$$\delta$$\delta$$\nu$

Wenn Sie an (Freiheitsgraden) ν> 2 interessiert sind, wird der folgende asymptotische Ausdruck [abgeleitet aus einer interpolativen Annäherung an das nichtzentrale Student-t-Quantil, DL Bartley, Ann. Besetzen. Hyg. 52, 2008] ist für viele Zwecke ausreichend genau:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Mit ν> 2 beträgt die maximale Größe der Verzerrung des obigen Ausdrucks relativ zum nichtzentralen Student-t-Median etwa 2% und fällt mit zunehmendem ν schnell ab. Das Konturdiagramm zeigt die Verzerrung der asymptotischen Näherung relativ zum nichtzentralen Student-t-Median: