Verteilung der Quadratsumme von T-verteilten Zufallsvariablen

Ich betrachte die Verteilung der Summe der Quadrate von T-verteilten Zufallsvariablen mit dem Endexponenten . Wo X das rv ist, gibt mir die Fourier-Transformation für X 2 , F ( t ) eine Lösung für das Quadrat vor der Faltung F ( t ) n . F ( t ) = ∫ ∞ 0 exp ($\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

Mit ist die Lösung möglich, aber unhandlich und unmöglich zu inversieren, um ein inverses Fourier für F ( t ) n durchzuführen . Die Frage ist also: Wurden Arbeiten zur Verteilung der Stichprobenvarianz oder Standardabweichung von T-verteilten Zufallsvariablen durchgeführt? (Für den StudentT wäre es das Chi-Quadrat für den Gaußschen). Vielen Dank.$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

(Mögliche Lösung) Ich habe herausgefunden, dass nach Fisher F ( 1 , α ) verteilt ist, daher wird die Summe der nach Fisher verteilten Variablen betrachtet.$X^2$$F(1,\alpha)$

(Mögliche Lösung) Aus den charakteristischen Funktionen hat der Durchschnitt von summiertem X 2 die gleichen ersten beiden Momente einer F ( n , α ) -Verteilung, wenn diese existieren. Daher kann mit u der Quadratwurzel und einer Änderung der Variablen innerhalb einer Wahrscheinlichkeitsverteilung die Dichte der Standardabweichung der n-Stichproben-T-Variablen angenähert werden mit: g ( u ) = 2 α α / 2 n n / 2 u n - 1 ( α + n u $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

Eine Klarstellung Ihrer Frage (es scheint mir zwei verwandte, aber unterschiedliche Teile zu geben): Sie suchen nach (1) Verteilung einer Summe von unabhängigen Quadraten t $n$ $t_{\alpha }$ Zufallsvariablen und (2) Stichprobenverteilung der Varianz (oder die zugehörige Standardabweichung) einer Zufallsstichprobe aus einem $t_{\alpha }$ -Verteilung (vermutlich Ihr Grund, nach (1) zu fragen).

Verteilung der Summe des unabhängigen Quadrats $t_{\alpha }$ Variablen

Wenn (unabhängige) zufällige t- Variablen mit α df sind, ist es falsch, dass ∑ n i = 1 T 2 i ∼ F ( n , $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$ (was Sie in Ihrem zweiten zu behaupten scheinen) " mögliche Lösung"). Dies lässt sich leicht überprüfen, indem der erste Moment eines jeden berücksichtigt wird (der erste Moment des letzteren ist n- mal der erste). $\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

Die Behauptung in Ihrer ersten "möglichen Lösung" ist richtig: . Anstatt auf charakteristische Funktionen zurückzugreifen, denke ich, dass dieses Ergebnis transparenter ist, wenn man die Charakterisierung des $T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$ Verteilung als Verteilung des Verhältnisses $\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$, which is the result we expect when summing squared (standard) normal variates.]

Sampling Distribution of Variance When Sampling from a $t_{\alpha }$ Distribution

Considering what I have written above, the expression you obtain for "the density of the standard deviation of n-sample T variables" is incorrect. However, even if the $F(n,\alpha)$ were the correct distribution, the standard deviation is not simply the square root of the sum of squares (as you seem to have used to arrive at your $g(u)$ density). You would instead be looking for the (scaled) sampling distribution of $\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$. In the normal case, the LHS of this expression can be re-written as a sum of squared normal variables (the term inside the square can be re-written as a linear combination of normal variables which is again normally distributed) which leads to the familiar $\chi^2$ distribution. Unfortunately, a linear combination of $t$ variables (even with the same degrees of freedom) is not distributed as $t$, so a similar approach can not be exploited.

Perhaps you should re-consider what it is you wish to demonstrate? It may be possible to achieve the objective using some simulations, for example. However, you do indicate an example with $\alpha=3$, a situation where only the first moment of $F(1,\alpha)$ is finite, so simulation won't help with such moment calculations.

You may want to check out Hotelling's T-distribution (http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution). There is relationships with $T^2$ being a $F$-distribution (http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties), but I'm not sure this is exactly what you're asking for.