Gemischte Modellidee und Bayes'sche Methode

Im gemischten Modell nehmen wir an, dass die zufälligen Effekte (Parameter) Zufallsvariablen sind, die Normalverteilungen folgen. Es sieht der Bayes'schen Methode sehr ähnlich, bei der alle Parameter als zufällig angenommen werden.

Ist das Zufallseffektmodell also ein Sonderfall der Bayes'schen Methode?

Das ist eine gute Frage. Genau genommen macht die Verwendung eines gemischten Modells Sie nicht zum Bayesianer. Stellen Sie sich vor, Sie schätzen jeden zufälligen Effekt separat (behandeln ihn als festen Effekt) und betrachten dann die resultierende Verteilung. Dies ist "schmutzig", aber konzeptionell haben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die zufälligen Effekte basierend auf einem relativen Frequenzkonzept .

Wenn Sie als Frequentist Ihr Modell jedoch mit voller maximaler Wahrscheinlichkeit anpassen und dann die zufälligen Effekte "abschätzen" möchten, treten einige Komplikationen auf. Diese Größen sind nicht wie Ihre typischen Regressionsparameter festgelegt, daher wäre ein besseres Wort als "Schätzung" wahrscheinlich "Vorhersage". Wenn Sie einen zufälligen Effekt für ein bestimmtes Motiv vorhersagen möchten, möchten Sie die Daten dieses Motivs verwenden. Sie müssen auf die Bayes-Regel zurückgreifen oder zumindest auf die Vorstellung, dassHier funktioniert die Zufallseffektverteilung Wesentlichen wie ein Prior. Und ich denke zu diesem Zeitpunkt würden viele Leute dies "empirische Bayes" nennen.

$$f(\beta_i | \mathbf{y}_i) \propto f(\mathbf{y}_i | \beta_i) g(\beta_i).$$ $g()$

Um ein echter Bayesianer zu sein, müssten Sie nicht nur eine Verteilung für Ihre zufälligen Effekte angeben, sondern auch Verteilungen (Prioritäten) für jeden Parameter, der diese Verteilung definiert, sowie Verteilungen für alle Parameter mit festen Effekten und das Modell-Epsilon. Es ist ziemlich intensiv!

Zufällige Effekte sind eine Möglichkeit, eine Verteilungsannahme mithilfe von bedingten Verteilungen anzugeben. Das zufällige Einweg-ANOVA-Modell lautet beispielsweise: Und diese Verteilungsannahme entspricht wobei eine austauschbare Struktur hat (mit diagonalem Eintrag und Kovarianz( y i 1 ⋮ y i J ) ∼ iid N ( ( μ ⋮ μ ) , Σ )

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ Σ σ 2 b + σ 2 w σ 2 b μ $$\begin{pmatrix} y_{i1} \\ \vdots \\ y_{iJ} \end{pmatrix} \sim_{\text{iid}} {\cal N}\left(\begin{pmatrix} \mu \\ \vdots \\ \mu \end{pmatrix}, \Sigma\right), \quad i=1,\ldots,I$$ $\Sigma$$\sigma^2_b+\sigma^2_w$$\sigma^2_b$). Um das Modell zu Bayesianisieren, müssen Sie vorherige Verteilungen für und zuweisen .$\mu$$\Sigma$

Wenn Sie davon sprechen, dieselben Antworten zu reproduzieren, lautet die Antwort Ja. Die INLA-Berechnungsmethode (google "inla bayesian") für bayesianische GLMMs in Kombination mit einem einheitlichen Prior für die festen Effekte und Varianzparameter reproduziert im Wesentlichen die EBLUP / EBLUE-Ausgaben unter der Gaußschen Näherung "Simple Plug-In", wobei die Varianzparameter geschätzt werden über REML.

Ich denke nicht, ich betrachte es als Teil der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Es ähnelt der Angabe, dass der Fehlerterm einer Normalverteilung in einem Regressionsmodell folgt, oder ein bestimmter binärer Prozess kann mithilfe einer logistischen Beziehung in einem GLM modelliert werden.

Da keine vorherigen Informationen oder Verteilungen verwendet werden, halte ich es nicht für Bayesianisch.