Was sind wichtige reine Mathematikkurse für einen angehenden Statistik-Doktoranden?

Ich weiß, dass lineare Algebra und Analyse (insbesondere Maßtheorie) wichtig sind. Ist es hilfreich, Kurse für Hochschulabsolventen in realer und komplexer Analyse zu belegen? Sollte ich Kurse in abstrakter Algebra über die Einführungskurse hinaus belegen, z. B. kommutative Algebra und algebraische Geometrie?

Meiner Meinung nach könnten einige Optionen zur Untersuchung auf Graduiertenebene sein: Funktionsanalyse (ein natürlicher Rahmen für statistische Formulierungen), stochastische Prozesse, stochastische Kontrolle (sequentielle Analyse ist optimales Stoppen), verschiedene Arten von PDE (viele probabilistische Probleme werden wie folgt formuliert) parabolische und nichtlineare PDEs). Fast alle diese Faktoren erfordern eine echte Analyse auf Bachelor-Ebene. Wenn Sie sich für theoretische Themen interessieren, ist es auch sehr wichtig, die Maßtheorie als Voraussetzung für die vollständige Behandlung dieser Themen zu verwenden. Komplexe Analysen werden einige Verwendung haben, aber weniger als die oben genannten; Es gibt Verbindungen zur Wahrscheinlichkeit (dh zu harmonischen Funktionen), aber es könnte sich durchaus nicht lohnen

Kommutative Algebra und algebraische Geometrie sind nicht sehr nützlich (eine Verbindung, die ich mir vorstellen kann, ist die algebraische Statistik, die nicht weit verbreitet ist). Diese Themen werden auch ohne soliden mathematischen Hintergrund sehr herausfordernd sein.

Wenn Sie die Maßtheorie verstehen möchten, haben Sie keine andere Wahl, als eine echte Analyse und eine erweiterte Analyse (dh eine Punktmengen-Topologie) durchzuführen. Abstrakte Algebra ist definitiv klassenfreundlicher als Analyse, aber ich denke, sie ist weit weniger nützlich.

Holen Sie sich echte Analysen, aber nicht so, wie ich es sehe. Wenn wir Mathematikstudenten interviewen, scheinen sie die Werkzeuge der realen Analyse nicht zu beherrschen. Einfache Dinge wie das Nehmen von Integralen sind für die meisten von ihnen unerreichbar. Ich verstehe immer noch nicht warum. Also mein Rat: Achten Sie in erster Linie auf Anwendungen.

Holen Sie sich auch ODE- und PDE-Kurs sowie Funktionsanalyse und Differentialgeometrie. Natürlich auch lineare Algebra und Tensoren. Alle mit Fokus auf Anwendungen.

In Bezug auf die kommutative Algebra und die algebraische Geometrie, die Themen, die in den anderen Antworten am wenigsten angesprochen werden, habe ich den Eindruck, dass Sie ohne sie auskommen können, solange Sie algebraische Statistiken vermeiden. Das Vermeiden algebraischer Statistiken kann jedoch in Zukunft immer schwieriger werden, da es viele Anwendungen und Schnittpunkte mit maschinellem / statistischem Lernen gibt, das in der heutigen Forschung sehr wichtig ist, sowie Anwendungen in anderen Bereichen. Kommutative Algebra und algebraische Geometrie sind die Themen, die Sie am speziellsten für algebraische Statistiken lernen möchten. Siehe zum Beispiel die Antworten auf diese Frage: Algebraische Geometrie für Statistiken

Im Gegensatz dazu verwenden alle Unterfelder der Statistik eine Analyse. (Allerdings nicht so sehr komplexe Analysen, obwohl dies zum Verständnis charakteristischer Funktionen nützlich sein kann, ein Punkt, der noch nicht angesprochen worden zu sein scheint.) Ich denke, dass die Maßtheorie auf Bachelor-Niveau wahrscheinlich ausreichen würde, da ich professionelle Statistiker (z. B. Professoren) getroffen habe an obersten Abteilungen), die auf die Maßtheorie herabblicken, aber wenn Sie die Maßtheorie wirklich verstehen wollen, ist ein Abschlusskurs in realer Analyse eine große Hilfe. Die Undergraduate-Measure-Theorie konzentriert sich in der Regel ausschließlich auf das Lebesgue-Measure auf der realen Linie, das viele schöne Eigenschaften aufweist, die allgemeine Measures möglicherweise nicht unbedingt haben, und darüber hinaus ein unendliches Maß ist. Im Gegensatz dazu wird ein Realanalysekurs für Hochschulabsolventen eher auf abstrakte Maßnahmen ausgerichtet sein. Dies erleichtert das Verständnis von Wahrscheinlichkeitsmaßen im Allgemeinen und macht die Beziehung zwischen kontinuierlichen und diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen klarer. Mit anderen Worten, Sie können zum ersten Mal sehen, dass beide Themen in einem Rahmen in Ihrem Kopf zusammenkommen. Ebenso könnte man in einem solchen Kurs den Kolmogorov-Erweiterungssatz beweisen. Und ein Verständnis für abstrakte Maßnahmen ist wirklich unerlässlich für ein genaues Verständnis stochastischer Prozesse in kontinuierlicher Zeit. Es ist sogar nützlich, um stochastische Prozesse in diskreter Zeit zu verstehen, obwohl es weniger wichtig ist als im kontinuierlichen Fall. Sie werden zum ersten Mal sehen können, wie beide Themen in einem Rahmen in Ihrem Kopf zusammenkommen. Ebenso könnte man in einem solchen Kurs den Kolmogorov-Erweiterungssatz beweisen. Und ein Verständnis für abstrakte Maßnahmen ist wirklich unerlässlich für ein genaues Verständnis stochastischer Prozesse in kontinuierlicher Zeit. Es ist sogar nützlich, um stochastische Prozesse in diskreter Zeit zu verstehen, obwohl es weniger wichtig ist als im kontinuierlichen Fall. Sie werden zum ersten Mal sehen können, wie beide Themen in einem Rahmen in Ihrem Kopf zusammenkommen. Ebenso könnte man in einem solchen Kurs den Kolmogorov-Erweiterungssatz beweisen. Und ein Verständnis für abstrakte Maßnahmen ist wirklich unerlässlich für ein genaues Verständnis stochastischer Prozesse in kontinuierlicher Zeit. Es ist sogar nützlich, um stochastische Prozesse in diskreter Zeit zu verstehen, obwohl es weniger wichtig ist als im kontinuierlichen Fall.