Kombinieren der Wahrscheinlichkeiten von nuklearen Unfällen

Die jüngsten Ereignisse in Japan haben mich über Folgendes nachdenken lassen.

Kernkraftwerke sind normalerweise so ausgelegt, dass das Risiko schwerer Unfälle auf eine „Entwurfsgrundwahrscheinlichkeit“ begrenzt wird, z. B. 10E-6 / Jahr. Dies ist das Kriterium für eine einzelne Anlage. Wie kombinieren wir jedoch bei einer Population von Hunderten von Reaktoren die einzelnen Wahrscheinlichkeiten eines schweren Unfalls? Ich weiß, dass ich das wahrscheinlich selbst recherchieren könnte, aber nachdem ich diese Seite gefunden habe, bin ich mir sicher, dass es jemanden gibt, der diese Frage ganz einfach beantworten kann. Vielen Dank

Um die rein probabilistische Frage zu beantworten, die J Presley unter Verwendung der Bayer-Notation (p = Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls eines Elements) gestellt hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Element ausfällt, 1-P (keine fehlgeschlagen) = 1- (1-p) ^ n. Diese Art der Berechnung ist bei der Systemzuverlässigkeit üblich, bei der mehrere Komponenten parallel miteinander verbunden sind, sodass das System weiterhin funktioniert, wenn mindestens eine Komponente funktioniert.

Sie können diese Formel auch dann verwenden, wenn jedes Anlagenelement eine andere Ausfallwahrscheinlichkeit (p_i) aufweist. Die Formel wäre dann 1- (1-p_1) (1-p_2) ... (1-p_n).

Denken Sie vor dem Einrichten Ihrer Analyse an die Realität der aktuellen Situation.

Diese Kernschmelze wurde nicht direkt durch das Erdbeben oder den Tsunami verursacht. Es war wegen eines Mangels an Notstrom. Wenn sie unabhängig vom Erdbeben / Tsunami genügend Notstrom hätten, hätten sie das Kühlwasser am Laufen halten können, und keiner der Zusammenbrüche wäre passiert. Die Anlage würde wahrscheinlich inzwischen wieder in Betrieb sein.

Japan hat aus irgendeinem Grund zwei elektrische Frequenzen (50 Hz und 60 Hz). Und Sie können einen 50-Hz-Motor nicht mit 60 Hz betreiben oder umgekehrt. Unabhängig von der Frequenz, die die Anlage verwendet / bereitgestellt hat, ist dies die Frequenz, die sie zum Einschalten benötigt. Geräte vom Typ "US" werden mit 60 Hz und Geräte vom Typ "European" mit 50 Hz betrieben. Beachten Sie dies bei der Bereitstellung einer alternativen Stromquelle.

Als nächstes befindet sich diese Pflanze in einem ziemlich abgelegenen Berggebiet. Für die Versorgung mit externem Strom ist eine LANGE Stromleitung aus einem anderen Bereich (für deren Bau Tage / Wochen erforderlich sind) oder große Generatoren mit Benzin- / Dieselantrieb erforderlich. Diese Generatoren sind schwer genug, dass das Einfliegen mit einem Hubschrauber keine Option ist. Das Einfahren kann auch ein Problem sein, da die Straßen durch das Erdbeben / den Tsunami blockiert sind. Sie per Schiff zu bringen ist eine Option, dauert aber auch Tage / Wochen.

Das Fazit ist, dass die Risikoanalyse für diese Anlage auf einen Mangel an MEHREREN (nicht nur ein oder zwei) Schichten von Backups zurückzuführen ist. Und da dieser Reaktor ein "aktives Design" ist, was bedeutet, dass Strom benötigt wird, um sicher zu bleiben, sind diese Schichten kein Luxus, sondern erforderlich.

Dies ist eine alte Pflanze. Eine neue Anlage wäre nicht so ausgelegt.

Bearbeiten (19.03.2011) ========================================== ====

J Presley: Um Ihre Frage zu beantworten, ist eine kurze Erläuterung der Begriffe erforderlich.

Wie ich in meinem Kommentar sagte, ist dies für mich eine Frage des "Wann", nicht des "Wenn", und als grobes Modell schlug ich die Poisson-Verteilung / den Poisson-Prozess vor. Der Poisson-Prozess ist eine Reihe von Ereignissen, die mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit über die Zeit (oder den Raum oder eine andere Maßnahme) auftreten. Diese Ereignisse sind unabhängig voneinander und zufällig (keine Muster). Die Ereignisse treten einzeln auf (2 oder mehr Ereignisse treten nicht genau zur gleichen Zeit auf). Grundsätzlich handelt es sich um eine binomische Situation ("Ereignis" oder "kein Ereignis"), in der die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, relativ gering ist. Hier sind einige Links:

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Als nächstes die Daten. Hier ist eine Liste der nuklearen Unfälle seit 1952 mit dem INES-Level:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_and_radiation_accidents

Ich zähle 19 Unfälle, 9 geben ein INES-Level an. Für diejenigen ohne INES-Level kann ich nur annehmen, dass das Level unter Level 1 liegt, also werde ich ihnen Level 0 zuweisen.

Eine Möglichkeit, dies zu quantifizieren, sind 19 Unfälle in 59 Jahren (59 = 2011 - 1952). Das sind 19/59 = 0,322 nach / Jahr. In einem Jahrhundert sind das 32,2 Unfälle pro 100 Jahre. Unter der Annahme eines Poisson-Prozesses ergeben sich die folgenden Diagramme.

Ursprünglich schlug ich eine Lognormal-, Gamma- oder Exponentialverteilung für die Schwere der Unfälle vor. Da die INES-Ebenen jedoch als diskrete Werte angegeben werden, müsste die Verteilung diskret sein. Ich würde entweder die geometrische oder die negative Binomialverteilung vorschlagen. Hier sind ihre Beschreibungen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

Beide passen ungefähr zu den Daten, was nicht sehr gut ist (viele Level 0, ein Level 1, null Level 2 usw.).

 Fit for Negative Binomial Distribution

 Fitting of the distribution ' nbinom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
      estimate Std. Error
 size 0.460949  0.2583457
 mu   1.894553  0.7137625
 Loglikelihood:  -34.57827   AIC:  73.15655   BIC:  75.04543 
 Correlation matrix:
              size           mu
 size 1.0000000000 0.0001159958 
 mu   0.0001159958 1.0000000000

 #====================
 Fit for Geometric Distribution

 Fitting of the distribution ' geom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
       estimate Std. Error
 prob 0.3454545  0.0641182
 Loglikelihood:  -35.4523   AIC:  72.9046   BIC:  73.84904 

Die geometrische Verteilung ist eine einfache Ein-Parameter-Funktion, während die negative Binomialverteilung eine flexiblere Zwei-Parameter-Funktion ist. Ich würde mich für die Flexibilität und die zugrunde liegenden Annahmen entscheiden, wie die negative Binomialverteilung abgeleitet wurde. Unten sehen Sie ein Diagramm der angepassten negativen Binomialverteilung.

Unten ist der Code für all diese Sachen. Wenn jemand ein Problem mit meinen Annahmen oder meiner Codierung findet, haben Sie keine Angst, darauf hinzuweisen. Ich habe die Ergebnisse durchgesehen, aber ich hatte nicht genug Zeit, um wirklich daran zu kauen.

 library(fitdistrplus)

 #Generate the data for the Poisson plots
 x <- dpois(0:60, 32.2)
 y <- ppois(0:60, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Cram the Poisson Graphs into one plot
 par(pty="m", plt=c(0.1, 1, 0, 1), omd=c(0.1,0.9,0.1,0.9))
 par(mfrow = c(2, 1))

 #Plot the Probability Graph
 plot(x, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 mtext(side=3, line=1, "Poisson Distribution Averaging 32.2 Nuclear Accidents Per Century", cex=1.1, font=2)
 xaxisdat <- seq(0, 60, 10)
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(x, type="h", lwd=3, col="blue")

 #Plot the Cumulative Probability Graph
 plot(y, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Cumulative Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(y, type="h", lwd=3, col="blue")

 axis(1, at=xaxisdat, padj=-2, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Number of Nuclear Accidents Per Century", 1, line=1)
 legend("topright", legend=c("99% Probability - 20 Accidents or More", " 1% Probability - 46 Accidents or More"), bg="white", cex=0.8)

 #Calculate the 1% and 99% values
 qpois(0.01, 32.2, lower.tail = FALSE)
 qpois(0.99, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Fit the Severity Data
 z <- c(rep(0,10), 1, rep(3,2), rep(4,3), rep(5,2), 7)
 zdis <- fitdist(z, "nbinom")
 plot(zdis, lwd=3, col="blue")
 summary(zdis)

Bearbeiten (20.03.2011) ========================================== ============

J Presley: Es tut mir leid, dass ich das gestern nicht beenden konnte. Sie wissen, wie es am Wochenende ist, viele Aufgaben.

Der letzte Schritt in diesem Prozess besteht darin, eine Simulation unter Verwendung der Poisson-Verteilung zusammenzustellen, um zu bestimmen, wann ein Ereignis eintritt, und dann die negative Binomialverteilung, um den Schweregrad des Ereignisses zu bestimmen. Sie können 1000 Sätze von "Jahrhundertblöcken" ausführen, um die 8 Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Ereignisse der Stufen 0 bis 7 zu generieren. Wenn ich Zeit habe, kann ich die Simulation ausführen, aber im Moment muss die Beschreibung reichen. Vielleicht wird jemand, der dieses Zeug liest, es ausführen. Danach haben Sie einen "Basisfall", in dem alle Ereignisse als UNABHÄNGIG angenommen werden.

Offensichtlich besteht der nächste Schritt darin, eine oder mehrere der obigen Annahmen zu lockern. Ein einfacher Einstieg ist die Poisson Distribution. Es wird davon ausgegangen, dass alle Ereignisse zu 100% unabhängig sind. Sie können dies auf verschiedene Arten ändern. Hier sind einige Links zu inhomogenen Poisson-Verteilungen:

http://www.math.wm.edu/~leemis/icrsa03.pdf

http://filebox.vt.edu/users/pasupath/papers/nonhompoisson_streams.pdf

Die gleiche Idee gilt für die negative Binomialverteilung. Diese Kombination führt Sie auf allen möglichen Wegen. Hier sind einige Beispiele:

http://surveillance.r-forge.r-project.org/

http://www.m-hikari.com/ijcms-2010/45-48-2010/buligaIJCMS45-48-2010.pdf

http://www.michaeltanphd.com/evtrm.pdf

Unter dem Strich haben Sie eine Frage gestellt, bei der die Antwort davon abhängt, wie weit Sie gehen möchten. Ich vermute, jemand wird irgendwo beauftragt, "eine Antwort" zu generieren, und wird überrascht sein, wie lange es dauert, die Arbeit zu erledigen.

Bearbeiten (21.03.2011) ========================================== ==========

Ich hatte die Gelegenheit, die oben erwähnte Simulation zusammenzuschlagen. Die Ergebnisse sind unten gezeigt. Ausgehend von der ursprünglichen Poisson-Verteilung bietet die Simulation acht Poisson-Verteilungen, eine für jede INES-Ebene. Mit steigendem Schweregrad (INES Level Number) steigt die Anzahl der erwarteten Ereignisse pro Jahrhundert. Dies mag ein grobes Modell sein, aber es ist ein vernünftiger Ausgangspunkt.

Die zugrunde liegende Schwierigkeit hinter der Frage besteht darin, dass Situationen, die erwartet wurden, im Allgemeinen geplant wurden und Maßnahmen zur Schadensminderung getroffen wurden. Das heißt, die Situation sollte nicht einmal zu einem schweren Unfall werden.

Die schweren Unfälle sind auf unerwartete Situationen zurückzuführen. Das bedeutet, dass Sie die Wahrscheinlichkeiten für sie nicht einschätzen können - sie sind Ihre unbekannten Unbekannten in Rumsfeld.

Die Annahme der Unabhängigkeit ist eindeutig ungültig - Fukushima Daiichi zeigt dies. Kernkraftwerke können Gleichtaktfehler aufweisen. (dh mehr als ein Reaktor wird aufgrund einer gemeinsamen Ursache gleichzeitig nicht mehr verfügbar).

Obwohl Wahrscheinlichkeiten nicht quantitativ berechnet werden können, können wir einige qualitative Aussagen über Gleichtaktfehler machen.

Beispiel: Wenn die Anlagen alle nach dem gleichen Design gebaut sind, treten mit größerer Wahrscheinlichkeit Gleichtaktfehler auf (z. B. das bekannte Problem mit Druckmittelrissen in EPRs / PWRs).

Wenn die Anlagenstandorte geografische Gemeinsamkeiten aufweisen, ist die Wahrscheinlichkeit von Gleichtaktfehlern höher: Wenn sie beispielsweise alle auf derselben Erdbebenfehlerlinie liegen; oder wenn sie alle zur Kühlung auf ähnliche Flüsse innerhalb einer einzigen Klimazone angewiesen sind (wenn ein sehr trockener Sommer dazu führen kann, dass alle diese Pflanzen offline geschaltet werden).

Wie Kommentatoren betonten, hat dies die sehr starke Annahme der Unabhängigkeit.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Pflanze explodiert, sei . Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Pflanze nicht explodiert, . Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pflanzen nicht explodieren, . Die erwartete Anzahl der pro Jahr gesprengten Pflanzen beträgt .1 - p n ( 1 - p ) n n $p$$1-p$$n$$(1-p)^n$$np$

Falls Sie interessiert sind: Binomialverteilung .