Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Ball in einem Satz schwarzer und weißer Bälle mit gemischten Ersatzbedingungen zu zeichnen

Wenn eine schwarze Kugel gezogen wird, wird sie im Satz nicht ersetzt, aber weiße Kugeln werden ersetzt.

Ich habe mit den Notationen darüber nachgedacht:

• $b$ ,$w$ die anfängliche Anzahl von schwarzen und weißen Kugeln
• $x_i = (b - i)/(b + w - i)$

Die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Ball $Pb(n)$ nach n Zügen zu ziehen:

$$\eqalign{ Pb(0) &= x_0\\ Pb(1) &= (1-x_0)x_0 + x_0x_1\\ Pb(2) &= (1-x_0)^2x_0 + x_0x_1(1-x_0)+ x_0x_1(1-x_1) + x_0x_1x_2 \\ Pb(n) &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (\prod\limits_{i=0}^k x_i \prod\limits_{i<=k}^{n-k\ terms} 1-x_i) }$$

Diese Summe scheint mit n unendlich zu sein, auch wenn einige Terme null sind, da $x_{i \ge b}=0$

Außer : P b ( n ) = ( 1 - x 0 ) n x $b=1$
$Pb(n) = (1-x_0)^nx_0$

Für : P b ( n ) = x 0 ( 1 - x 1 ) n + x 0 x 1 ∑ i + j = n - 1 ( 1 - x 0 ) i ( 1 - x 1 ) $b=2$
$Pb(n)= x_0(1-x_1)^n + x_0x_1\sum\limits_{i+j=n-1} (1-x_0)^i(1-x_1)^j$

Gibt es eine bekannte Lösung für dieses Problem?

Die anfängliche Anzahl der weißen Kugeln sei und die der schwarzen Kugeln sei b . Die Frage beschreibt eine Markov-Kette, deren Zustände durch die mögliche Anzahl schwarzer Kugeln i ∈ { 0 , 1 , 2 , … , b } indiziert sind . Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind$w$$b$$i \in \{0, 1, 2, \ldots, b\}.$

$$p_w(i, i) = \frac{w}{w+i}, \quad p_w(i,i-1) = \frac{i}{w+i}.$$

Das erste beschreibt das Zeichnen einer weißen Kugel, in welchem ​​Fall mich nicht ändere, und das zweite beschreibt das Zeichnen einer schwarzen Kugel, in welchem ​​Fall i um 1 reduziert wird .$i$$i$$1$

Lassen Sie uns von nun an den expliziten Index " " löschen und diesen Wert durchgehend als fest annehmen. Die Eigenwerte der Übergangsmatrix P sind$w$$\mathbb{P}$

$$\mathbf{e} = \left(\frac{w}{w+b-i},\ i = 0, 1, \ldots, b\right)$$

entsprechend der Matrix gegeben durch$\mathbb{Q}$

$$q_{ij} = (-1)^{i+j+b} (j+w) \binom{b}{j} w^{j-b} \binom{b-j}{i} (b-i+w)^{b-j-1}$$

dessen Umkehrung ist

$$(q^{-1})_{ij} = \frac{w^{b-i} \binom{j}{b-i} (b-j+w)^{i-b}}{\binom{b}{b-i}}.$$

Das ist,

$$\mathbb{P} = \mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e})\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

Folglich ist die Verteilung nach Übergängen aus dem Zustand b durch den Wahrscheinlichkeitsvektor gegeben$n$$b$

$$\mathbf{p}_n = (0,0,\ldots,0,1) \mathbb{P}^n = (0,0,\ldots,0,1)\mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e}^n)\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

Das heißt, die Chance, dass nach n Unentschieden noch schwarze Kugeln übrig sind, ist$i$$n$

$$p_{ni} = \sum_{j=0}^b q_{nj} e_j^n (q^{-1})_{ji}.$$

Ausgehend von einer beliebigen Anzahl weißer Kugeln und schwarzen Kugeln beträgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach n ≥ 1 Ziehungen beispielsweise$b=2$$n \ge 1$

$$\eqalign{ \Pr(i=2) &= p_{n2} &= \frac{w^n}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=1) &= p_{n1} &= \frac{2w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} - \frac{2 w^{n-1}(1+w)}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=0) &= p_{n0} &= 1 - \frac{2 w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} + \frac{w^{n-1}}{(2+w)^{n-1}}. }$$

Die Kurven in dieser Figur verfolgen die Wahrscheinlichkeiten der Zustände (blau), (rot) und (gold) als Funktion der Anzahl der Ziehungen wenn ; Das heißt, die Urne beginnt mit zwei schwarzen und fünf weißen Kugeln.i = 1 i = 2 n w = $i=0$$i=1$$i=2$$n$$w=5$

Der Zustand (keine schwarzen Kugeln mehr) ist ein absorbierender Zustand : In der Grenze, in der ungebunden wächst, nähert sich die Wahrscheinlichkeit dieses Zustands der Einheit (erreicht sie jedoch nie genau).$i=0$$n$