Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Ball in einem Satz schwarzer und weißer Bälle mit gemischten Ersatzbedingungen zu zeichnen

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Wenn eine schwarze Kugel gezogen wird, wird sie im Satz nicht ersetzt, aber weiße Kugeln werden ersetzt.

Ich habe mit den Notationen darüber nachgedacht:

  • b ,w die anfängliche Anzahl von schwarzen und weißen Kugeln
  • xich=(b- -ich)/.(b+w- -ich)

Die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen Ball P.b(n) nach n Zügen zu ziehen:

Pb(0)=x0Pb(1)=(1x0)x0+x0x1Pb(2)=(1x0)2x0+x0x1(1x0)+x0x1(1x1)+x0x1x2Pb(n)=k=0n1(i=0kxii<=knk terms1xi)

Diese Summe scheint mit n unendlich zu sein, auch wenn einige Terme null sind, da xichb=0

Außer : P b ( n ) = ( 1 - x 0 ) n x 0b=1
P.b(n)=(1- -x0)nx0

Für : P b ( n ) = x 0 ( 1 - x 1 ) n + x 0 x 1 i + j = n - 1 ( 1 - x 0 ) i ( 1 - x 1 ) jb=2
P.b(n)=x0(1- -x1)n+x0x1ich+j=n- -1(1- -x0)ich(1- -x1)j

Gibt es eine bekannte Lösung für dieses Problem?

caub
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Antworten:

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Die anfängliche Anzahl der weißen Kugeln sei und die der schwarzen Kugeln sei b . Die Frage beschreibt eine Markov-Kette, deren Zustände durch die mögliche Anzahl schwarzer Kugeln i { 0 , 1 , 2 , , b } indiziert sind . Die Übergangswahrscheinlichkeiten sindwbi{0,1,2,,b}.

pw(i,i)=ww+i,pw(i,i1)=iw+i.

Das erste beschreibt das Zeichnen einer weißen Kugel, in welchem ​​Fall mich nicht ändere, und das zweite beschreibt das Zeichnen einer schwarzen Kugel, in welchem ​​Fall i um 1 reduziert wird .ii1

Lassen Sie uns von nun an den expliziten Index " " löschen und diesen Wert durchgehend als fest annehmen. Die Eigenwerte der Übergangsmatrix P sindwP

e=(ww+bi, i=0,1,,b)

entsprechend der Matrix gegeben durchQ.

qichj=(- -1)ich+j+b(j+w)(bj)wj- -b(b- -jich)(b- -ich+w)b- -j- -1

dessen Umkehrung ist

(q- -1)ichj=wb- -ich(jb- -ich)(b- -j+w)ich- -b(bb- -ich).

Das ist,

P.=Q. Diagonal(e) Q.- -1.

Folglich ist die Verteilung nach Übergängen aus dem Zustand b durch den Wahrscheinlichkeitsvektor gegebennb

pn=(0,0,,0,1)P.n=(0,0,,0,1)Q. Diagonal(en) Q.- -1.

Das heißt, die Chance, dass nach n Unentschieden noch schwarze Kugeln übrig sind, istichn

pnich=j=0bqnjejn(q- -1)jich.

Ausgehend von einer beliebigen Anzahl weißer Kugeln und schwarzen Kugeln beträgt die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach n 1 Ziehungen beispielsweiseb=2n1

Pr(ich=2)=pn2=wn(2+w)nPr(ich=1)=pn1=2wn- -1(1+w)n- -1- -2wn- -1(1+w)(2+w)nPr(ich=0)=pn0=1- -2wn- -1(1+w)n- -1+wn- -1(2+w)n- -1.

Zahl

Die Kurven in dieser Figur verfolgen die Wahrscheinlichkeiten der Zustände (blau), (rot) und (gold) als Funktion der Anzahl der Ziehungen wenn ; Das heißt, die Urne beginnt mit zwei schwarzen und fünf weißen Kugeln.i = 1 i = 2 n w = 5ich=0ich=1ich=2nw=5

Der Zustand (keine schwarzen Kugeln mehr) ist ein absorbierender Zustand : In der Grenze, in der ungebunden wächst, nähert sich die Wahrscheinlichkeit dieses Zustands der Einheit (erreicht sie jedoch nie genau).nich=0n

whuber
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sehr schön, also ist (für b = 2) die Wahrscheinlichkeit, nach n Zügen ein Schwarz zu zeichnen, Pr (i = 2) * 2 / (w + 2) + Pr (i = 1) * 1 / (w + 1) ? Die Dimensionen der Matrizen sind bxb, oder? und Pr (i) ist pii?
Caub
I ließ den Index in den Formeln endgültigen, so Pr ( i = 2 ) ist , p n 2 , zum Beispiel. Die Matrizen haben die Dimensionen b + 1 mal . nPr(ich=2)pn2,b+1b+1
whuber