Warum werden die geometrische Verteilung und die hypergeometrische Verteilung als solche bezeichnet?

Ja, die Begriffe beziehen sich auf die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen (pmfs).

Vor 2.500 Jahren untersuchte Euklid (in den Büchern VIII und IV seiner Elemente ) Sequenzen von Längen mit gemeinsamen Proportionen. . Irgendwann wurden solche Sequenzen als "geometrische Abläufe" bekannt (obwohl der Begriff "geometrisch" aus einem ähnlichen Grund genauso leicht auf viele andere reguläre Reihen angewendet werden konnte, einschließlich derjenigen, die jetzt "arithmetisch" genannt werden).

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer geometrischen Verteilung mit dem Parameter $p$ bildet einen geometrischen Verlauf

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Hier ist das gemeinsame Verhältnis . $1-p$

Vor einigen hundert Jahren wurde eine umfassende Verallgemeinerung solcher Abläufe für die Untersuchung elliptischer Kurven, Differentialgleichungen und vieler anderer tief miteinander verbundener Bereiche der Mathematik wichtig. Die Verallgemeinerung nimmt an, dass die relativen Verhältnisse unter aufeinanderfolgenden Termen an Positionen liegen und variieren könnten, begrenzt jedoch die Art dieser Variation:Die Proportionen müssen eine gegebene rationale Funktion von . Da diese über den geometrischen Verlauf (für den die rationale Funktion konstant ist) "hinaus" oder "darüber hinaus" gehen, wurden sievom altgriechischen Präfix hypergeometrisch genannt $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ("hyper").

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer hypergeometric Funktion mit den Parametern und hat die Form $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

für geeignete . Das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Wahrscheinlichkeiten ist daher gleich $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

eine rationale Funktion von Grad . Dies ordnet die Wahrscheinlichkeiten einer (bestimmten Art von) hypergeometrischen Progression zu. $k$ $(2,2)$

whuber
quelle

Vielen Dank! Gibt es andere Distributionen, deren pmfs auch geometrische oder hypergeometrische Verläufe bilden?

StackExchange for All

Wenn eine PMF eine geometrische Progression bildet, muss es sich um eine verschobene, neu skalierte und / oder abgeschnittene geometrische Verteilung handeln. Bildet es eine hypergeometrische Progression (2,2), so gilt eine ähnliche Schlussfolgerung. Es gibt Verteilungen, die mit jeder Reihe verknüpft sind , die sich zu einem endlichen Wert summiert, und daher wird die hypergeometrische Verteilung auf viele andere Verteilungen verallgemeinert (indem verschiedene rationale Funktionen verwendet werden). Die meisten von ihnen haben keine Namen. Eine Ausnahme bildet die negative Binomialverteilung, deren pmf hypergeometrisch vom Grad (1,1) ist.

whuber

Vielen Dank! Bildet die PMF der Poisson-Verteilung eine spezielle Serie / Progression? Bei einer Poission-Verteilung mit dem Ratenparameter

ist

. Bildet die PMF eine spezielle Serie oder Folge?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

StackExchange for All

Ja, das ist eine rationale Funktion des Grades (0,1), also entspricht sie der allgemeinen Definition eines hypergeometrischen Fortschritts.

Whuber

Einer Quelle zufolge ist pmf (k) für die geometrische Verteilung das geometrische Mittel von pmf (k-1) und pmf (k + 1). Das geometrische Mittel zweier Zahlen A und B ist . Klassischerweise wurde dieses Problem so interpretiert, dass die Länge der Seiten eines Quadrats mit einer Fläche ermittelt wurde, die einem Rechteck mit Seiten der Länge A und B entspricht, ein geometrisches Problem. $\sqrt{A B}$

Veryshuai
quelle

Ihre Quelle greift auf die Art von Spekulationen zurück, auf die ich mich zu Beginn meiner Antwort (etwas elliptisch) bezogen habe. Das Internet ist voll von Leuten, die die gleiche Behauptung aufstellen, aber da es geometrisch genauso einfach ist, ein arithmetisches Mittel als geometrisches Mittel zu finden, scheint diese Eigenschaft (eine "geometrische" Konstruktion zu haben) letztendlich nichts zu erklären. Es wäre sehr interessant, eine Autorität zu finden, die die tatsächlichen historischen Verwendungen von "geometrisch" und "arithmetisch" aufspüren kann, um zu verstehen, wie diese Begriffe wirklich entstanden sind.

Whuber

Warum werden die geometrische Verteilung und die hypergeometrische Verteilung als solche bezeichnet?

Antworten: