Wie kann eine Verteilung einen unendlichen Mittelwert und eine unendliche Varianz haben?

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Es wäre wünschenswert, wenn die folgenden Beispiele gegeben werden könnten:

Eine Verteilung mit unendlichem Mittelwert und unendlicher Varianz.
Eine Verteilung mit unendlicher mittlerer und endlicher Varianz.
Eine Verteilung mit endlichem Mittelwert und unendlicher Varianz.
Eine Verteilung mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz.

Es kommt von mir, dass ich diese ungewohnten Begriffe (unendlicher Mittelwert, unendliche Varianz) in einem Artikel sehe, den ich lese, google und in einem Thread auf der Wilmott-Website lese , und keine ausreichend klare Erklärung finde. Ich habe auch in keinem meiner Lehrbücher Erklärungen gefunden.

distributions variance mean user1205901 - Setzen Sie Monica wieder ein
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1

Fall 2 in der obigen Liste ist unmöglich.

kjetil b halvorsen

Relevant: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

kjetil b halvorsen

1

Mögliches Duplikat von Was ist der Unterschied zwischen endlicher und unendlicher Varianz

?

2

Wenn ich nach diesen vier konkreten Beispielen frage, denke ich, dass dies eine eindeutige Frage ist und nicht als Duplikat geschlossen werden sollte - obwohl die andere Frage sicherlich relevant und hilfreich ist.

Silverfish

1

Von den 4 Beispielen sind nur 1, 3 und 4 tatsächlich möglich und einfache Beispiele können für 1 und 4 angegeben werden. Cauchy ist ein Beispiel für 1 und der Gauß'sche ist ein Beispiel für 4. Es ist unmöglich, die Varianz genau zu definieren wenn die .mean nicht existiert. Daher ist 2 nicht möglich. Ein Beispiel von 3 wäre interessant zu konstruieren.

Michael R. Chernick

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Der Mittelwert und die Varianz werden als Integrale definiert. Was es bedeutet, dass der Mittelwert oder die Varianz unendlich ist, ist eine Aussage über das einschränkende Verhalten dieser Integrale

Zum Beispiel ist der Mittelwert (wenn man dies als ein Stieltjes-Integral betrachtet); für eine kontinuierliche Dichte wäre dies (jetzt etwa als Riemann-Integral). $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Dies kann zum Beispiel passieren, wenn der Schwanz "schwer genug" ist. Betrachten Sie die folgenden Beispiele für vier Fälle von endlichem / unendlichem Mittelwert und Varianz:

Eine Verteilung mit unendlichem Mittelwert und unendlicher Varianz.

Beispiele: Paretoverteilung mit , einer Zeta (2) -Verteilung. $\alpha= 1$
Eine Verteilung mit unendlicher mittlerer und endlicher Varianz.

Nicht möglich.
Eine Verteilung mit endlichem Mittelwert und unendlicher Varianz.

Beispiele: Verteilung . Pareto mit . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Eine Verteilung mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz.

Beispiele: Beliebig normal. Jede Uniform (tatsächlich hat jede begrenzte Variable alle Momente). . $t_3$

Sie können auch eine Verteilung haben, bei der das Integral undefiniert ist, aber nicht unbedingt alle endlichen Grenzen im Grenzwert überschreitet.

Diese Notizen von Charles Geyer beschreiben, wie relevante Integrale in einfachen Worten berechnet werden können. Es sieht so aus, als handele es sich um Riemann-Integrale, die nur den kontinuierlichen Fall abdecken, aber allgemeinere Definitionen des Integrals (zum Beispiel Stieltjes) decken alle Fälle ab, die Sie wahrscheinlich benötigen werden [Die Lebesgue-Integration ist die Integrationsform, die in der Maßtheorie verwendet wird (was der Wahrscheinlichkeit zugrunde liegt), aber der Punkt hier funktioniert gut mit grundlegenderen Methoden. Es wird auch behandelt (Abschnitt 2.5, S. 13-14), warum "2". ist nicht möglich (der Mittelwert existiert, wenn die Varianz existiert).

Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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+1 Der Grund, warum (2) unmöglich ist, ist trivial: Die Varianz wird als Mittelwert definiert. Etwas tiefer ist die Tatsache, dass der Mittelwert endlich sein muss , wenn der zweite Moment von endlich ist. Denn wenn die mittleren unendlich ist, dann erst recht muss der zweite Moment unendlich sein , da der zweite Moment die Werte der Gewichtung wird durch die Wahrscheinlichkeit , nicht nur , sondern auch von selbst ( ). Diese Gewichte wachsen ungebunden und verursachen, dass der zweite Moment schließlich den absoluten Wert des ersten Moments überschreitet.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

Whuber

4

@whuber aber Sie könnten die Varianz ohne Bezugnahme auf den Mittelwert definieren (z. B. in Bezug auf die Erwartung von quadratischen Differenzen in Wertepaaren), so ist das Problem nicht so trivial wie das. Etwas ähnlicheres wie Ihr zweites Argument wird tatsächlich benötigt.

Glen_b -Reinstate Monica

3

Das ist ein guter Punkt, aber wenn wir akzeptieren, dass eine alternative Definition der Varianz der üblichen Definition für alle Verteilungen algebraisch äquivalent ist, dann, wenn sie gemäß einer Definition undefiniert ist, scheint dies logischerweise ein ausreichender Beweis dafür zu sein, dass sie gemäß undefiniert ist ins Einkaufszentrum. Wo Alternativen wie die von Ihnen erwähnte in den Vordergrund rücken, geht es um stochastische Prozesse, bei denen die verschiedenen Definitionen nicht gleichwertig sind.

whuber

2

Ja, ich will. Eine Varianz, die die Erwartung einer nicht negativen Zufallsvariablen ist, entspricht allein dem Lebesgue-Integral des positiven Teils. Daher ist es entweder endlich oder unendlich (in der erweiterten Zahlenreihe), egal was passiert. Diese Eigenschaft, nicht negativ zu sein, unterscheidet die Analyse gerader Momente von der anderer Momente, die nicht definiert werden können.

whuber

2

Die Definition der Varianz ist, dass sie gleich .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

Whuber

5

Stabile Distributionen bieten schöne, parametrische Beispiele für das, wonach Sie suchen:

Unendlich Mittelwert und Varianz: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
endlicher Mittelwert und unendliche Varianz: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
endlicher Mittelwert und Varianz: (Gaußsch) $\text{stability parameter} = 2$

Steve Schulist
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1

Niemand hat das St. Petersburg-Paradoxon hier erwähnt; andernfalls würde ich in einem so alten Thread nicht posten, der bereits mehrere Antworten enthält, einschließlich einer "akzeptierten" Antwort.

Wenn eine Münze "Kopf" landet, gewinnen Sie einen Cent.

Bei "Tails" verdoppeln sich die Gewinne und bei "Heads" beim zweiten Wurf gewinnen Sie zwei Cent.

Wenn Sie das zweite Mal "Tails" setzen, verdoppeln sich die Gewinne erneut und wenn Sie beim dritten Wurf "Heads" setzen, gewinnen Sie vier Cent.

Und so weiter: Die Summe der Produkte ist das ist also ein unendlicher erwarteter Wert .

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

Das heißt, wenn Sie für jeden Münzwurf Million Dollar oder Billion Dollar usw. zahlen , haben Sie letztendlich die Nase vorn. Wie kann das sein, wenn es unwahrscheinlich ist, dass Sie jedes Mal mehr als ein paar Cent gewinnen? $\$1$ $\$1$

Die Antwort ist, dass Sie in sehr seltenen Fällen eine lange Folge von Schwänzen erhalten, so dass die Gewinne Sie für die enormen Kosten entschädigen, die Ihnen entstanden sind. Das ist wahr, egal wie hoch der Preis ist, den Sie für jeden Wurf zahlen.

Michael Hardy
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-1

Betrachten Sie für die zweite Verteilung die Zufallsvariable dann ist die Antwort mit der Wahrscheinlichkeit eins unendlich, und daher ist die Varianz Null und der Mittelwert von Die Verteilung hat den Wert unendlich.

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

Mr. Joe
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Das ist ein interessantes Beispiel, aber für die Berechnungen benötigen Sie ein erweitertes reelles Zahlensystem mit .

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

kjetil b halvorsen

Wie kann eine Verteilung einen unendlichen Mittelwert und eine unendliche Varianz haben?

Antworten: