Quadrat der Normalverteilung mit spezifischer Varianz

Was ist die Verteilung des Quadrats einer normalverteilte Zufallsvariable $X^2$ mit $X\sim N(0,\sigma^2/4)$ ?
Ich weiß, dass $\chi^2(1)=Z^2$ ein gültiges Argument für die Quadratur einer Standardnormalverteilung ist, aber wie steht es mit dem Fall der nichteinheitlichen Varianz?

distributions normal-distribution CodeTrek
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Warum berechnen Sie dies nicht einfach direkt aus der Normalgleichung und zeichnen dann die resultierende Funktion auf?

Ich suche nach einer theoretischen Erklärung hier ...

CodeTrek

Schreibe

... oder äquivalent

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. Kannst du es jetzt machen?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

Glen_b -Reinstate Monica

? Also nichts von ausgefallenem, nicht zentriertem Chi-Quadrat-Zeug?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

CodeTrek

Solange der Mittelwert

, gibt es kein nicht zentrales Chi-Quadrat. nur Plain - Vanilla - skalierte

Verteilung als Glen_b weist darauf hin.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

Dilip Sarwate

Antworten:

So schließen Sie diesen:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q. \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

mit

E (Q.) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q.) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

Alecos Papadopoulos
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Das ist falsch. Wenn

dann ist

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

abernicht

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

. Sie teilen

durch den falschen Faktor. Schau mal hier:en.wikipedia.org/wiki/...

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

Euler_Salter

@Euler_Salter Haben Sie sich angesehen, wie die

Variable in der Frage des OP definiert ist?

X

$X$

Alecos Papadopoulos

Oh, das habe ich verpasst! Lies zu schnell! Entschuldigung

Euler_Salter

@Euler_Salter Die standardisierte Variable folgt auch einer Chi- Verteilung, en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Sie müssen es quadrieren, um ein Chi-Quadrat zu erhalten.

Alecos Papadopoulos