Gibbs-Stichprobe für das Ising-Modell

Hausaufgabenfrage:

Betrachten Sie das 1-d-Ising-Modell.

Let $x = (x_1,...x_d)$ . $x_i$ ist entweder -1 oder +1

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Entwerfen Sie einen Gibbs-Abtastalgorithmus, um Abtastwerte ungefähr aus der Zielverteilung zu generieren. $\pi(x)$ .

Mein Versuch:

Wählen Sie zufällig Werte (entweder -1 oder 1), um den Vektor zu füllen . Also vielleicht . Das ist also . $x = (x_1,...x_{40})$ $x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$ $x^0$

Jetzt müssen wir also weitermachen und die erste Iteration durchführen. Wir müssen die 40 verschiedenen x für zeichnen $x^1$ separat . So...

Zeichnen Sie von $x_1^1$ $\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Zeichnen Sie von $x_2^1$ $\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Zeichnen von $x_3^1$ $\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Etc..

Der Teil, der mich auslöst, ist also, wie wir tatsächlich aus der bedingten Verteilung ziehen. Wie kommt ins Spiel? Vielleicht würde ein Beispiel für ein Unentschieden die Dinge klären. $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

self-study sampling mcmc gibbs Collin
quelle

Antworten:

$x_1$

π (x_{1} ∣ x_{2}, \dots, x_{d}) = \frac{π (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{d})}{π (x_{2}, \dots, x_{d})} \propto e^{x_{1} x_{2}}

$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$

P (X_{1} = - 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{- x_{2}}}{C}

$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$

P (X_{1} = 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{x_{2}}}{C}

$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$

\frac{e^{- x_{2}}}{C} + \frac{e^{x_{2}}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_{2}

$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Generalize it to $x_2,\dots,x_{40}$ (take notice of the differences; see Ilmari's comment bellow).

Can you use Ising's analytic results to check your simulation?

Zen
quelle

So, it ends up only being dependent on the value immediately before it in the vector i.e. the only term that depends on

x_{1}

$x_1$ is

x_{2}

$x_2$ , the only term that depends on

x_{23}

$x_{23}$ is

x_{24}

$x_{24}$ , etc. What about the case of

x_{40}

$x_{40}$ ? How do we draw it since the conditional distribution only seems to apply for

i = 1

$i=1$ through 39?

Collin

@user2079802: No, for

x_{2}

$x_2$ through

x_{39}

$x_{39}$ you get two terms in the exponent:

π (x_{i} ∣ x_{1}, \dots, x_{i - 1}; x_{i + 1}, \dots, x_{d})

$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$

\propto

$\propto$

\exp (x_{i - 1} x_{i} + x_{i} x_{i + 1})

$\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$ . But it's still easy enough to evaluate that for

x_{i} = \pm 1

$x_i=\pm1$ .

Ilmari Karonen