Legendre-Polynomgleichung in sphärischen Harmonischen

Ich habe kürzlich angefangen, über sphärische Harmonische zu lesen. Ich habe eine Frage zu dieser Basisfunktionsgleichung für sphärische Harmonische, die in diesem StupidSH-Artikel erwähnt wird:

Wofür werden diese lm () und Re () verwendet?

Der Artikel ist hier zu finden: http://www.ppsloan.org/publications/StupidSH36.pdf

Die Notation Re () und Im () beziehen sich auf den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl. Mathematiker und Physiker sind es gewohnt, sphärische Harmonische (und auch Fourier-Transformationen) zu verwenden, die aufgrund des Faktors komplexen Wert haben . Sie hätten dann im Allgemeinen auch komplexe Koeffizienten bei der sphärischen harmonischen Ausdehnung einer (reellen oder komplexen) Funktion.$e^{im\phi}$

Unter Verwendung der Euler-Formel ist . Dieser Faktor codiert also Kosinus- und Sinuswellen (die mal schwingen, wenn Sie sich um den Äquator der Kugel bewegen) in ihren Real- bzw. Imaginärteilen.$e^{im\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)$$m$

Wenn wir wissen, dass wir streng mit reellen Funktionen arbeiten werden, ist es möglicherweise bequemer, reelle Varianten der sphärischen Harmonischen zu verwenden, bei denen durch entweder oder und Verwendung realer Koeffizienten anstelle komplexer. Wir tauschen einen einzelnen komplexen Koeffizienten gegen zwei reelle Koeffizienten, sodass wir keine Informationen oder Flexibilität verloren haben. Es ist im Wesentlichen ein Wechsel der Basis. Diese Formulierung stellt nur explizit sicher, dass immer alles real herauskommt.$e^{im\phi}$$\cos(m\phi)$$\sin(m\phi)$