Wie funktioniert eine 2D Fourier Transformation eines Bildes?

Ich verstehe, wie eine 1D-Fourier-Transformation ein Signal in seine Teilfrequenzen aufteilt, aber ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, wie sich eine 2D-Fourier-Transformation auf ein 2D-Bild auswirkt.

Aus einer anderen Frage heraus hat John Calsbeek einen interessanten Artikel über die Messung der Qualität von Rauschfunktionen verlinkt . Dies zeigte verschiedene Rauschfunktionen und die Fourier-Transformation von jedem.

Handelt es sich um eine diskrete Transformation der Pixeldaten oder um eine kontinuierliche Transformation der kontinuierlichen Interpolationsfunktion, mit der das Rauschen an beliebigen Punkten erzeugt wird?

Ist die Ringform vergleichbar mit 1D-Fourier-Transformationen der Linie durch die Bildmitte in jedem möglichen Winkel? Oder wird die Transformation für jeden möglichen Winkel auch über den gesamten 2D-Raum gemessen und nicht nur entlang einer Linie durch die Mitte? Ich versuche ein intuitives Gefühl dafür zu bekommen, welche Änderungen im Eingabebild welchen Änderungen in der Fourier-Transformation entsprechen.

Eine 2D-Fouriertransformation wird durchgeführt, indem zuerst eine 1D-Fouriertransformation für jede Zeile des Bildes durchgeführt wird, dann das Ergebnis genommen wird und eine 1D-Fouriertransformation für jede Spalte durchgeführt wird. Oder umgekehrt; es spielt keine rolle.

So wie Sie mit einer 1D-Fourier-Transformation eine Funktion in eine Summe von (1D) Sinuswellen mit verschiedenen Frequenzen zerlegen können, zerlegt eine 2D-Fourier-Transformation eine Funktion in eine Summe von 2D-Sinuswellen. Diese Wellen können entlang der x- und y-Achse unterschiedliche Frequenzen haben. Sie haben im Allgemeinen die Form:

$k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

Genau wie bei der 1D-Fourier-Transformation gibt es sowohl diskrete als auch kontinuierliche Versionen. Das Ergebnis einer diskreten 2D-Fourier-Transformation ist eine Matrix komplexer Amplituden für eine Menge diskreter$(k_x, k_y)$Werte. Dies wird üblicherweise (wie in dem von Ihnen verlinkten Artikel) als ein Bild dargestellt, bei dem sich die Pixel an Koordinaten befinden$(k_x, k_y)$ repräsentiert die Amplitude dieses Wellenvektors.

Eine Ringform in einer 2D-Fouriertransformation zeigt also eine Rotationsinvarianz der Frequenzverteilung (dh für Wellen in jeder Richtung genau so viel Amplitude) mit einem engen Größenbereich (von der Innenseite des Rings nach außen) an. Mit anderen Worten, das Papier verwendet die Fourier-Transformation, um zu demonstrieren, dass ihr Rauschen einigermaßen isotrop und bandbegrenzt ist.