Wenn ein Graph , finden Sie Eckpunkte , deren Entfernung zu einem Graph mit der kleinsten größten Komponente führen würde.
Ich nehme für große und groß das Problem schwierig (NP-hart), aber ich interessiere mich für kleine Werte von ( ).
Für ist es meines Erachtens möglich, den besten zu entfernenden Scheitelpunkt zu finden, indem eine einzelne Tiefensuche des Graphen durchgeführt wird (dh Artikulationspunkte überprüft werden).
Für wäre es möglich, die besten Eckpunkte indem Tiefensuchen durchgeführt werden (jede davon für den Graphen ). Ein ähnlicher Ansatz könnte im Fall angewendet werden .
Ich frage mich, ob es eine bessere Lösung gibt.
(Verwandte: Zählen der minimalen Anzahl von Scheitelpunkten, ohne sie unbedingt aufzuzählen )
Antworten:
Das von Ihnen beschriebene Problem wird im Bereich der Schwachstellenmaße von Diagrammen als Komponentenordnungskonnektivität bezeichnet . Die Entscheidungsversion des Problems lautet wie folgt:
Das Problem ist offensichtlich NP-vollständig, da es die Scheitelpunktabdeckung verallgemeinert; der Fall, wenn ist, ist die Scheitelpunktabdeckung. Daher kann das Problem nicht behoben werden, wenn der Parameter durch ℓ parametrisiert wird (es sei denn, F P T = W [ 1 ] ). Es ist auch bekannt, dass das Problem W [ 1 ] -hart ist, wenn es durch k parametrisiert wird . Daher müssen wir auf Algorithmen mit einer exponentiellen Laufzeit in k + ℓ zurückgreifen .ℓ=1 ℓ FPT=W[1] W[1] k k+ℓ
Sehr interessante Frage. Für die Eingabe ein Brute-Force-Ansatz:G,k,ℓ
Der Algorithmus läuft in der Zeit .(ℓ+1)k⋅n2
Beachten Sie, dass jede Ja-Instanz des Problems eine Baumbreite und tatsächlich eine Pfadbreite von höchstens k + ℓ hat . Dies kann durch Sehen , dass die Einnahme einer Deletion Satz beobachtet wird X der Größe höchstens k ergibt einen Graphen G - X wo jede verbundene Komponente Größe höchstens hat l . Daher besteht eine gültige Pfadzerlegung darin, einfach einen Beutel für jede der Komponenten in G - zu konstruieren.G,k,ℓ k+ℓ X k G−X ℓ und dannjedem Beutel dasgesamte X hinzuzufügen. Daraus folgt, dass jede yes-Instanz | hat E ( G ) |G−X X .|E(G)|≤n(k+ℓ)
Ein verwandtes Problem wurde in der Vergangenheit unter dem Namen Graph Integrity oder Vertex Integrity untersucht, um die Vertex-Löschversion und die Kantenlöschversion zu unterscheiden:
Das heißt, die Summe aus dem Löschsatz und der Größe der maximalen Komponente sollte minimiert werden. Dieses Problem ist auch NP-schwer. Siehe z.
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