Gibt es immer eine Big Oh-Komplexität, die ausschließlich zwischen zwei anderen besteht?

8

Ich lerne etwas über asymptotische Analysen und habe einige exotisch aussehende Komplexitäten gesehen, die zwischen anderen gemeinsamen leben. Zum Beispiel liegt "log log n" streng zwischen 1 und log n. Ich frage mich, ob man immer Komplexitäten zwischen zwei anderen finden kann.

Speziell für alle Funktionen f und g mit O (f) ⊂ O (g) gibt es immer ein h, so dass O (f) ⊂ O (h) ⊂ O (g)?

Das sind keine Hausaufgaben oder so. Ich bin nur neugierig, ob jemand es weiß.

complexity-theory time-complexity asymptotics begriffs
quelle

10

Ja: Nehmen Sie eine Funktion in der Mitte, um eine geeignete Definition der Mitte zu erhalten. Sie haben eine große Auswahl.

Wenn (wobei die Einbeziehung streng ist), dann (denn wenn und dann ). Nehmen Sie das geometrische Mittel: Lassen Sie (da es sich hier um Komplexität handelt, gehe ich davon aus, dass die Funktionen positiv sind). $O(f) \subset O(g)$ $g \in O(g) \setminus O(f)$ $g \in O(f)$ $f \in O(g)$ $\Theta(f) = \Theta(g)$ $h = \sqrt{f \cdot g}$

Dann und (wenn dies nicht sofort offensichtlich ist, beweisen Sie es unter Verwendung der Definition von ), dh . Wenn dann ist , was nicht der Fall ist, da wir . Es bleibt zu beweisen, dass , und wir haben . $f \in O(h)$ $h \in O(g)$ $O$ $O(f) \subseteq O(h) \subseteq O(g)$ $O(f) = O(h)$ $g = f \in O(f)$ $g \notin O(f)$ $O(h) \ne O(g)$ $O(f) \subset O(h) \subset (g)$

Wenn dann ist , dh es gibt und so dass . Dann (nimm das Quadrat und dividiere durch ; wieder nehme ich positive Funktionen an), also , was unserer ursprünglichen Annahme widerspricht. Die Hypothese führt zu einem Widerspruch, der den Beweis abschließt. $O(h) = O(g)$ $g \in O(h)$ $A$ $C \gt 0$ $\forall x \ge A, g(x) \le C \, h(x) = C \sqrt{f(x) g(x)}$ $g(x) \le C^2 f(x)$ $g(x)$ $g \in O(f)$ $O(h) = O(g)$

Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'
quelle

Es ist mir auch eingefallen, dass ich ein Durchschnitt bin, aber ich frage mich, ob es ein stärkeres Ergebnis gibt. Wenn f: x ≤ 0 und g: x ≤ 2x ist, dann wäre h x, aber O (h) ist genau gleich O (g). Ich suche ein h, das schwächer ist, wobei O (h) Elemente enthält, die O (f) nicht enthält, und einige Elemente in O (g) fehlen.

begriffs

@ user3102996 Ups, ja, du hast recht. Der Fehler war in "ähnlich" ... Das arithmetische Mittel wächst wie die größere Funktion! Das geometrische Mittel hingegen wächst „genau“ in der Mitte. Ich habe meine Antwort korrigiert.

Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'

-3

Dies scheint für "gut definierte" Funktionen oder mögliche "Raum / Zeit-Konstruierbarkeit" zu gelten, es sind jedoch sogenannte (von einigen) "pathologische Funktionen" bekannt, die von Blum in zB dem Blums-Gap-Theorem gefunden wurden, für das es nicht das ist Fall. so scheint es dem Konzept der zB Differenzierung im Kalkül ähnlich zu sein, das für "am besten benommene Funktionen" funktioniert, aber welche "pathologischen Ausnahmen" gefunden wurden. Es scheint bisher nicht viel systematisches / weiteres Studium dieser "pathologischen Ausnahmen" in der Komplexitätstheorie zu geben.

vzn
quelle

ps iirc es war oded goldreich, der sie "pathologische" Wachstumsfunktionen nennt ... vielleicht würden einige sie lieber unter den Teppich kehren = (

vzn

Gibt es immer eine Big Oh-Komplexität, die ausschließlich zwischen zwei anderen besteht?

Antworten: