Ist

Angenommen, ist ein entscheidbares Entscheidungsproblem.$\Pi$

Does implizieren ist -Hard?$\Pi\not \in NP$$\Pi$$NP$

Bearbeiten: Wenn wir annehmen, dass , sind wir fertig. Können wir die Behauptung ohne unbekannte Annahmen widerlegen?$\Pi\in coNP\setminus NP$

Wenn Sie annehmen, dass ist, ergibt jedes coNP-vollständige Problem ein Gegenbeispiel. Ich würde vermuten, dass man Ihre Vermutung bedingungslos widerlegen kann.$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

Wenn dann$P=NP$

$\Pi \not\in NP$
$\implies$
und Π ist weder die leere noch die vollständige Sprache $P=NP$$\Pi$
$\implies$
ist N P -hart.$\Pi$$NP$

Lassen bezeichnen das Ergebnis einer führenden 1 auf dem signifikantesten Ende des Setzens s und Parsen dann das Ergebnis als Integer in binärer.$\operatorname{int}(s)$$s$

Wenn dann ist für jede Teilmenge S von { 0 , 1 } ∗ , die nicht in NTIME ( 2 O ( 2 n ) ) enthalten ist , { 111 … [ 2 int ( n )  von ihnen ] … 111 : n ∈ S } ist nicht in NP, da S zu hart ist, ist genau dann entscheidbar, wenn S ist, und ist auch in Bezug auf nicht NP-hart$P\neq NP$ $S$$\{0,1\}^*$$\operatorname{NTIME}$$\left(2^{O\left(2^n\right)}\right)$
$\{111 \ldots [2^{\operatorname{int}(n)} \text{ of them}] \ldots 111 : n\in S\}$$S$$S$Turing-Reduktionen, da es für jede Polynomgrenze nur polynomiell viele Möglichkeiten für die Teilmenge dieser Sprache gibt, die aus den Elementen besteht, die in die Längengrenze passen, so dass man die Reduktion von Suche zu Entscheidung mit jedem von ihnen versuchen könnte .

Vollständigkeit für eine Klasse bedeutet, dass sie für die Klasse universell ist, dh andere Probleme in der Klasse können damit gelöst werden. Wenn es in einer Klasse ein schwieriges Problem gibt, sind auch alle universellen Probleme für die Klasse schwierig. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall: Schwierigkeit bedeutet nicht Universalität. Zum Beispiel bedeutet die Tatsache, dass ein Problem in der nichtdeterministischen Zeit eines Polynoms nicht gelöst werden kann, nicht, dass es NP-vollständig ist (dh universell für NP).

Für NP: Wenn P = NP, sind alle Probleme außer den trivialen für NP vollständig (unter Karp-Reduktionen). Nehmen wir also an, P ist eine geeignete Teilmenge von NP (oder verwenden Sie alternativ einen schwächeren Reduktionsbegriff wie AC0).

Stellen Sie sich eine unäre Sprache vor, die außerhalb von NP liegt. (Es ist leicht zu zeigen, dass es unäre Sprachen mit willkürlichen Schwierigkeiten gibt.) Die Sprache kann nach Mahoneys Theorem für NP nicht vollständig sein.