Wenn

Ich möchte beweisen, dass regulär ist, wenn regulär ist, aber ich komme anscheinend nicht weiter. Wenn möglich, hoffte ich auf einen Hinweis, um mich in die richtige Richtung zu bringen. Danke für deine Hilfe. $\sqrt{L}=\{w:ww\in L\}$ $L$

Meine Idee, um die Regelmäßigkeit der Quadratwurzelsprache zu demonstrieren, war es, zwei Maschinen zu betrachten, die zusammen laufen. Einer von ihnen akzeptiert die Originalsprache $L$ und der andere läuft die gleiche Maschine rückwärts (ich gehe davon aus, dass dies eine NFA sein wird). Ich wollte dann Wörter akzeptieren, die sich in der Mitte trafen (dh ${(q,q):q∈Q}$ wo $Q$ akzeptieren die Staaten des EDA $L$ ). Ich denke jedoch nicht, dass dies funktionieren wird.

formal-languages regular-languages finite-automata closure-properties user99163
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Das Folgende hat eine Antwort auf math.sx: If

L

$L$ ist regelmäßig, beweisen Sie das

\sqrt{L} = {w : w w \in L}

$\sqrt{L}=\left\{ w : ww\in L\right\}$ ist regelmäßig

Pål GD

Die beiden Maschinen müssen vorwärts laufen. Es ist nur so, dass der zweite dort beginnen muss, wo der erste endet. Daher muss der zweite eine Vermutung für seinen Ausgangszustand anstellen und sich an diese Vermutung erinnern.

Babou

@ PålGD Vielen Dank für Ihre Antwort. Das ist eine interessante Lösung, aber ich kann nicht scheinen, dass die Induktion im induktiven Schritt funktioniert. Was ich bekomme ist folgendes:

\hat{δ^{'}} (q_{0}^{'}, w a) = δ^{'} (\hat{δ^{'}} (q_{0}^{'}, w), a) = δ^{'} (f, a) = g

$\hat{\delta'}(q_{0}',wa)=\delta'(\hat{\delta'}(q_{0}',w),a)=\delta'(f,a)=g$ wo

f (q) = \hat{δ} (q, w)

$f(q)=\hat{\delta}(q,w)$ durch die induktive Hypothese. Damit

g (q) = f (δ (q, b)) = \hat{δ} (δ (q, b), w) = \hat{δ} (q, b w)

$g(q)=f(\delta(q,b))=\hat{\delta}(\delta(q,b),w)=\hat{\delta}(q,bw)$ Wenn Sie mir vielleicht sagen könnten, wo ich falsch gelaufen bin, wäre ich Ihnen dankbar.

user99163

@babou Vielen Dank für Ihre Antwort. Schlagen Sie eine NFA vor, in der Sie an jedem Punkt des ursprünglichen DFA beginnen können, der akzeptiert wurde

L

$L$ ?

user99163

Ja. Dies geschieht mit einem nicht deterministischen

ϵ

$\epsilon$ -Übergang am Anfang. Die Zustände sind Dreifache des ursprünglichen Maschinenzustands, einer für die erste Simulation, einer für die zweite Simulation und einer, der sich daran erinnert, wo die zweite Simulation begonnen hat, um sicherzustellen, dass der erste dort endet.

Babou

Antworten:

So implementieren Sie Ihre Lösung. Lassen $A = \langle Q, q_0, F, \delta \rangle$ ein DFA für sein $L$ . Wir werden eine NFA bauen $A' = \langle Q', q'_0, F', \delta' \rangle$ wie folgt:

$Q' = \{q'_0\} \cup Q^3$ . Der Staat $(q_1,q_2,q_3)$ bedeutet, dass wir das erraten haben, wann $A$ beendet das Lesen der ersten Kopie von $w$ wird es in Zustand sein $q_1$ ;; die erste Kopie von $A$ , fing an bei $q_0$ ist im Zustand $q_2$ ;; und die zweite Kopie von $A$ , fing an bei $q_1$ ist im Zustand $q_3$ .
$F' = \{(q_1,q_1,q_2) : q_1 \in Q, q_2 \in F\}$ . Somit akzeptieren wir, wenn die erste Kopie von $A$ ist im erratenen Zustand und die zweite Kopie von $A$ ist in einem akzeptierenden Zustand.
$\delta'(q'_0,\epsilon) = \{(q,q_0,q) : q \in Q\}$ . Dies initialisiert die Simulation der beiden Kopien von $A$ .
$\delta'((q_1,q_2,q_3),a) = \{(q_1,\delta(q_2,a),\delta(q_3,a))\}$ . Dies simuliert beide Kopien von $A$ unter Beibehaltung des erratenen Zustands.

Wir überlassen dem Leser den formalen Beweis dafür $L(A') = \sqrt{L(A)}$ .

Hier ist eine andere Lösung, die einen DFA erstellt. Wir rennen jetzt $|Q|$ Kopien von $A$ parallel, beginnend bei jedem Zustand von $A$ ::

$Q' = Q^Q$ .
$q'_0 = q \mapsto q$ , die Identitätsfunktion.
$\delta'(f,a) = q \mapsto \delta(q,a)$ .
$F' = \{ f \in Q' : f(f(q_0)) \in F \}$ .

Was ist die Bedeutung der Bedingung $f(f(q_0)) \in F$ ? Nach dem Lesen eines Wortes $w$ , der Automat $A'$ ist in einem Zustand $f$ gegeben durch $f(q) = \delta(q,w)$ . Somit $f(f(q_0)) = \delta(\delta(q_0,w),w) = \delta(q_0,w^2)$ .

Yuval Filmus
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Es kann viele Arten solcher Funktionen geben, wie z. B. SQRT (L), HALF (L) usw. Gibt es eine allgemeine Möglichkeit, alle Funktionen miteinander zu kombinieren? Ich dachte nach dem Myhill-Nerode-Theorem. Dies wird auch als Hälfte bezeichnet. sqrt ist

\exists y

$\exists y$ st

| y | = | x |^{2}

$|y|=|x|^2$ und

x y \in L

$xy\in L$

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