Big-O-Beweis für eine Wiederholungsbeziehung?

Diese Frage ist ziemlich spezifisch in der Art der Schritte, die zur Lösung des Problems unternommen werden.

Gegeben beweisen, dass T ( n ) = O ( n 2 ) .$T(n)=2T(2n/3)+O(n)$$T(n)=O(n^2)$

Die Schritte waren also wie folgt. Wir wollen beweisen, dass .$T(n) \le cn^2$

und gingen dann auf meiner prof zu tun:

$$\begin{align*} T(n)&=2T(2n/3)+O(n) \\ &\leq 2c(2n/3)^2+an\\ &\leq (8/9)(cn^2)+an \end{align*}$$

was herauskommt zu:

$$T(n) \leq cn^2+(an-(1/9)cn^2)\,,$$

$$T(n)\leq cn^2 \text{ for any }c >= 9a\,.$$

Meine Frage ist, wie sie bei der Einführung eines neuen Begriffs von 8/9 auf 1/9 wechseln konnten. Ist das erlaubt? Sie hat es nie erklärt, das war nur in ihren Lösungen.

$an$$(8/9)cn^2 + an \leq cn^2 + an$$an$$(1/9)cn^2$$an$$c \geq 9a$$an - (1/9)cn^2 \leq 0$$c$