Der Nachweis, dass die Sprache, die aus allen Zeichenfolgen in einer Sprache besteht, dieselbe Länge hat wie eine Zeichenfolge in einer anderen Sprache, ist normal

Ich kratzte mich jetzt seit ein paar Tagen am Kopf über dieses Problem. Zeigen Sie bei einer regulären Sprache $A$ und , dass die Sprache die aus allen Zeichenfolgen in deren Länge einer Zeichenfolge in B entspricht, eine reguläre Sprache ist.L A $B$$L$$A$$B$

In Gleichungsform:

$$L = \{x \in A \mid \exists y \in B \text{ s.t. } |x| = |y| \}$$

Mein erster Gedanke war, einen DFA für beide Sprachen $A$ und $B$ und die beiden Zustände einander zuzuordnen und hoffentlich ein Verhältnis von 1: 1 zu erhalten, damit ich einen neuen DFA generieren kann, der beweist, dass $L$ regulär ist. Aber dann wurde mir klar, dass $A$ und $B$ nicht über demselben Satz von Symbolen liegen müssen.

Ich denke, der richtige Weg, dies zu lösen, besteht darin, die Schließungseigenschaften der regulären Sprache zu verwenden, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich die Eigenschaften für "Längen" von Zeichenfolgen anstelle von Zeichenfolgen selbst beginnen / verwenden soll.

Könnte mich jemand in die richtige Richtung weisen?

Denken Sie an den Beweis für (oder überlegen Sie sich)

$\qquad \displaystyle L_1, L_2 \in \mathsf{REG} \implies L_1 \cap L_2 \in \mathsf{REG}$ .

Sehen Sie, wie Sie den Proof für Ihre Einstellung ändern können?

Wenn Sie die Sache mit der Längengleichheit abstrahieren, finden Sie eine Konstruktion für einen Automaten für für gegebenes, beliebiges über .

L∈ R E $\qquad \displaystyle L_l = \{ w \in \Sigma^* \mid \exists x \in L.\, |x|=|w|\}$

$L \in \mathsf{REG}$$\Sigma$

Sehen Sie den Zusammenhang?

Beachten Sie nun, dass .$L = A \cap B_l$

Hinweise: Nehmen wir an, Sie kennen alle unterschiedlichen Wortlängen in , . Nehmen wir vorerst an, dass es endlich ist.l e n ( B ) = { ℓ 1 , ℓ 2 , ℓ 3 , . . . $B$$len(B) = \{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, ... \}$

Können Sie dieses Wissen nutzen, um einen DFA für erstellen ? ^{(Hinweis: Kreuzung oder "produktübergreifende" Konstruktion)}$A$

Ist das Alphabet von überhaupt wichtig?$B$

Als nächstes könnte es sein, dass die Menge der Längen unendlich ist. Schauen Sie sich dann diese Frage an, die auch diese Angelegenheit lösen sollte.$len(B)$

Die Closure-Eigenschaft Weg, also keine (expliziten) Automaten. Reguläre Sprachen werden unter Morphismen, inversen Morphismen und Schnittpunkten (mit regulären Sprachen) geschlossen.

Sei und Σ B die Alphabete von A und $\Sigma_A$$\Sigma_B$$A$$B$ . Lassen die morphism sein , dass jeder Karten Buchstaben a & egr ; Σ X zu 1 . Dann codiert h B ( B ) ⊆ { 1 } ∗ die Längenmenge von B und h - 1 A ( h B ( B $h_X:\Sigma_X^* \to \{1\}^*$$a\in\Sigma_X$$1$$h_B(B) \subseteq \{1\}^*$$B$ besteht aus (allen) Zeichenfolgen, die dieselbe Länge wie Zeichenfolgen in B haben , jedoch über dem Alphabet von A liegen . Schließlich beobachten wir, dass L = A ∩ h - 1 A ( h B ( B ) ) .$h_A^{-1}(h_B(B))$$B$$A$$L= A\cap h_A^{-1}(h_B(B))$

Nun zum Bonus . Es funktioniert auch für kontextfreie und B . Wir brauchen jedoch eine zusätzliche Eigenschaft: Wenn B kontextfrei ist, dann ist h B ( B ) regulär (!), Da alle 'unären' (= Einzelbuchstaben-Alphabet) kontextfreien Sprachen regulär sind, eine Folge des Satzes von Parikh . Somit ist auch h - 1 A ( h B ( B ) ) regulär und L ist kontextfrei.$A$$B$$B$$h_B(B)$$h_A^{-1}(h_B(B))$$L$