Die Bedingungen für einen zweigeteilten Graphen müssen planar sein, ohne dass Kanten um die Eckpunkte verlaufen

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Ein zweigeteilter Graph ist planar, wenn er keine oder K 5 Minderjährigen hat.K3,3K5

Ich suche nach notwendigen oder / und ausreichenden Bedingungen, um planare Zeichnungen ohne Kanten zu ermöglichen, die Sätze von Eckpunkten "umrunden". Dies sind Zeichnungen, die Folgendes erfüllen:

  1. Alle Eckpunkte eines Teils werden auf einer einzigen vertikalen Linie gezeichnet. Scheitelpunkte des anderen Teils werden auf einer parallelen Vertikellinie gezeichnet.
  2. Kanten schneiden sich nur an Eckpunkten.
  3. Alle Kanten befinden sich im unendlichen Streifen zwischen den beiden vertikalen Linien in Punkt 1.

Beispielsweise sind alle Zeichnungen hier außer rechts unten keine Beispiele. Das Diagramm unten links kann neu gezeichnet werden, um die Bedingungen zu erfüllen, indem die Positionen von Q und R vertauscht werden. Die beiden oberen Diagramme können nicht neu gezeichnet werden, um die Bedingungen zu erfüllen.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die beiden oberen Grafiken sind die einzigen Hindernisse, die ich finden konnte. Meine Fragen sind:

  1. Hat dieses Problem einen Namen?
  2. Irgendwelche anderen Hindernisse, die ich verpasst habe?
  3. Alle Hinweise, wie ich beweisen kann, dass diese beiden Hindernisse (zusammen mit allem, was ich verpasst habe) als Minderjährige natürlich notwendig und ausreichend sind.

Beachten Sie, dass dies nicht dasselbe ist wie Außenplanar, ist Außenplanar (kann als Quadrat gezeichnet werden), aber es kann nicht gezeichnet werden, um die oben genannten Bedingungen zu erfüllen.K2,2

aelguindy
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Antworten:

13

 1

  • 1

  • Sie sind die Bäume, in denen jeder Scheitelpunkt höchstens zwei nicht blättrige Nachbarn hat.

Lemma 1. Jede Raupe ist in deiner Klasse.

GP=x1x2d(x1)=d(x)=1GP1xixi1xi+1

G

Gx1y1x2y2xkykx1x2x1y2y1x1y1x2y2xi+1xii{1,,k1}yykx1

Lemma 3. Jede verbundene Nicht-Raupe gehört nicht zu Ihrer Klasse.

G2xy1y2y32

Gy2y1y3y2zxy2y2zxy1xy3

Satz. Ihre Klasse von Graphen ist genau die Klasse von Wäldern, deren Bestandteile jeweils eine Raupe sind.

GG13

K3K1,3

1

K3K4K3K1,3

David Richerby
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Eine sehr gute Antwort!
Pål GD
0

Die folgende Antwort ist also, was ich mir ausgedacht habe:

Wie Sie bereits erwähnt haben, gibt es nur zwei mögliche Fälle, die nicht neu angeordnet werden können.

UV

Bearbeiten: Ich habe das Diagramm falsch gelesen, sorry dafür.

K2,2

Um zu beweisen, dass jeder andere Untergraph gültig ist, können Sie sich Folgendes vorstellen:

e

Der erste Fall ist, dass wir einen Knoten haben, der weder am selben Knoten wie die erste Kante beginnt noch endet. Dies lässt uns problemlos und wir können mit dem Einfügen fortfahren.

V1V2V3V4

V1V4

Wir können wieder nur drei Lösungen finden: Entweder verfolgen wir eine Endverbindung oder wiederholen den Schritt, den wir bereits zuvor ausgeführt haben (alle verbleibenden Schritte verfolgen). Wenn wir auf einem Endknoten landen, können wir alle verfolgten Knoten austauschen.

K2,2

EDIT: Um diesen Beweis auf den zweiten Fall auszudehnen, müssen wir die folgenden Bedingungen betrachten:

Wenn wir einen Untergraphen mit mindestens einem Hub (3 oder mehr Verbindungen) haben, ist dies im Allgemeinen "ziemlich einfach".

k>1

Da ich selbst nur geringe Kenntnisse auf diesem Gebiet habe, Ihnen aber dennoch eine mögliche Lösung anbieten möchte, habe ich Ihnen einen (hoffentlich) geeigneten Artikel verlinkt

Wenn jemand dieses Problem benennen würde, wäre ich daran interessiert, es zu lernen, zumal ich diese Lösung nur gefunden habe, indem ich Gedanken aus Fárys Theorem und vollständigen zweiteiligen Untergraphen weiterverfolgt habe.

Dennlinger
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Wie ist der zweite Fall kein zweigeteilter Graph? Die Kante (H, J) verbindet nur H und J und berührt I nicht (nur die Zeichnung ist etwas schlecht).
Aelguindy
Ah verdammt, ich dachte das wären zwei getrennte Kanten. Lassen Sie mich herausfinden, aber es sollte leicht in den aktuellen Beweis aufgenommen werden
dennlinger
k>2
Was meinen Sie mit "Der erste Fall ist, dass wir einen Knoten haben, der entweder am selben Knoten beginnt oder endet"? Ich sehe nicht, wie Ihre Argumentation die Aussagen beweist. Sie beweisen, dass Sie das Diagramm nicht zeichnen können, wenn Sie bestimmte Aufgaben ausführen. Ich sehe nicht einmal ein, wie dies damit umgehen würde, nicht die beiden Hindernisse direkt zu haben, sondern ihre Minderjährigen.
aelguindy
Der erste Fall sollte "weder .. noch" sein. Das tut mir leid. Und ich habe versucht, einen Beweis zu erstellen, der alle potenziellen Teilmengen, die gegen Ihren Zustand verstoßen, eliminiert, indem ich jede mögliche Kante überprüft habe.
Dennlinger