Was ist ein „Widerspruch“ in der konstruktiven Logik?

In praktischen Grundlagen für Programmiersprachen , sagt Robert Harper

Wenn ein Satz, der wahr ist, einen Beweis dafür hat, was bedeutet es dann, wenn ein Satz falsch ist? Es bedeutet, dass wir eine Widerlegung haben, die zeigt, dass es nicht bewiesen werden kann. Das heißt, ein Satz ist falsch, wenn wir zeigen können, dass die Annahme, dass er wahr ist (einen Beweis hat), bekannten Tatsachen widerspricht.

Dies wirft jedoch die Frage auf: Was ist ein Widerspruch in der konstruktiven / intuitionistischen Logik?

Ist das im Sinne einer Ableitung gemeint ? Wie würde das sinnvoll geschehen? Müsste ein Urteil über die Form ( A ⊃ ⊃  wahr ) eingeführt werden?$(\bot\text{ true})$$(A \supset \bot \text{ true})$

Oder ist es vielleicht so gemeint, dass der Leser nach eigenem Ermessen etwas informell als widersprüchlich kennzeichnet? Zum Beispiel, und a ≠ b als widersprüchliche Sätze zu interpretieren .$a = b$$a \neq b$

Es ist unerheblich, ob wir in dieser Situation von konstruktiver oder klassischer Logik sprechen. Wenn Sie Ihre Fragen erneut lesen, werden Sie feststellen, dass sie für beide Arten gelten. Der einzige Unterschied ist, dass wir von Notiz zu nehmen brauchen , ist die Darstellung der Negation . Es kann klassisch auf verschiedene Arten dargestellt werden, aber intuitionistisch ist es am besten, es als Abkürzung für A ⇒ ⊥ zu verwenden (das ist genau das, worauf Bob Harper im zitierten Absatz hinweist). Aber verwechseln wir nicht Negationen und Widersprüche.$\lnot A$$A \Rightarrow \bot$

In beiden Fällen ist ein Widerspruch eine Situation, in der es uns gelungen ist, Falschheit zu beweisen $\bot$ . Wie können wir sinnvoll ableiten ? Nun, aus einer inkonsistenten Reihe von Hypothesen würde dies eine vernünftige Möglichkeit sein, dies zu tun.$\bot$

Es liegt nicht in Ihrem Ermessen , einen Widerspruch zu "erklären". Sie müssen beweisen, dass eine gegebene Menge von Hypothesen widersprüchlich ist, indem Sie . Zum Beispiel, wenn a = b und ¬ ( a = b ), dann können wir die Tatsache verwenden, dass ¬ ( a = b ) eine Abkürzung für ( a = b ) ⇒ ⊥ ist und ⊥ durch modus ponens schließen.$\bot$$a = b$$\lnot (a = b)$$\lnot (a = b)$$(a = b) \Rightarrow \bot$$\bot$

$A \land \lnot A$ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$$\bot$$A \land \lnot A$$\bot$$\lnot$

$\bot$

$\bot$$A$$A \Rightarrow \bot$$A$$\lnot A \Rightarrow \bot$$\lnot \lnot A$$\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$$\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$