Beispiel für induktive Mengen, die weder der kleinste noch der größte Fixpunkt sind

Hier ist ein nicht triviales Beispiel:

Angenommen, wir möchten induktiv eine Teilmenge von Reals definieren, also arbeiten wir an dem vollständigen Gitter , das nach Einschluss geordnet ist. $\mathcal{P}(\mathbb{R})$

Betrachten Sie dann die Regeln Dies induziert die (monotone, Scott-kontinuierliche) Funktion gegeben durch

\frac{}{0} \frac{x}{x + 1}

$\dfrac{\qquad}{0} \qquad \dfrac{x}{x+1}$

f : P (R) \to P (R)

$f : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$

f (X) = {0} \cup {x + 1 | x \in X}

$f(X) = \{0\} \cup \{ x+1 \ |\ x\in X\}$

Alle folgenden Punkte sind Fixpunkte von : $f$

$\mathbb{N}$ (am wenigsten)
$\mathbb{Z}$
$\{x/2 \ |\ x\in \mathbb{Z}\}$
$\{x/3 \ |\ x\in \mathbb{Z}\}$
usw.
für jedes natürliche die Menge $k \geq 1$ $\{x/k \ |\ x\in \mathbb{Z} \}$
$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$ (am größten)

Wenn unsere Definition über die Festlegung der Regeln hinaus wohlgeformt sein soll, müssen wir einen der Fixpunkte herausgreifen. Dies geschieht typischerweise durch die geringste (Induktion) oder die größte (Koinduktion).

Chi
quelle

Eine kleine Nisse, aber ohne Angabe der kleinsten / größten oder einer anderen Eigenschaft, um die entsprechende Teilmenge eindeutig auszuwählen, definiert dies nicht induktiv eine Teilmenge der Realzahlen.

Derek Elkins verließ SE

@DerekElkins Einverstanden. Ich habe eine Notiz dazu hinzugefügt.

Chi

@DerekElkins Die Antwort behauptet nicht, dass sie etwas definiert. Es heißt anzunehmen, dass wir etwas definieren wollen , gibt einige Regeln und sagt, dass diese Regeln eine ganze Reihe von Fixpunkten haben.

David Richerby

@ DavidRicherby In der Tat war das meine Absicht. Trotzdem kann ich sehen, dass es möglich ist, etwas über das hinaus zu lesen, was ich geschrieben habe, also habe ich trotzdem eine letzte Notiz hinzugefügt.

Chi

@ thbl2012 Der größte Fixpunkt ist sehr empfindlich gegenüber der Wahl des gesamten Gitters, an dem Sie arbeiten. Hier habe ich angefangen

R

$\mathbb{R}$ als oberstes Element meines Gitters, aber ich hätte zB wählen können

Q

$\mathbb{Q}$ oder

C

$\mathbb{C}$ . Eine weitere häufige Wahl ist die Menge der endlichen oder unendlichen symbolischen Anwendungen der Okstruktoren, bei denen Sie, wie Sie sagen, den größten Fixpunkt haben

N \cup {\infty}

$\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ wo

\infty

$\infty$ hier stellt sich der Nachfolger dar, der unendlich oft auf sich selbst angewendet wird. Daher ist Ihr Professor völlig korrekt. Er hat einfach ein anderes vollständiges Gitter gewählt.

Chi

Beispiel für induktive Mengen, die weder der kleinste noch der größte Fixpunkt sind

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