Könnte ein Quantencomputer eine lineare Algebra schneller ausführen als ein klassischer Computer?

Angenommen, wir hätten einen Quantencomputer mit einer ausreichenden Anzahl von Qubits. Könnten wir damit die lineare Algebra schneller ausführen als mit einem klassischen Computer? Welche Art von Beschleunigung können wir erwarten? Hat jemand einen Quantenalgorithmus für die lineare Algebra erstellt und wie lange läuft er? Theoretisch ist eine Operation wie die Matrix-Matrix-Multiplikation stark parallelisierbar, in der Praxis erfordert sie jedoch viel Arbeit, um eine schnell laufende parallele Matrix-Matrix-Multiplikation zu implementieren. Würde ein Quantencomputer einen praktischen Vorteil bieten?

Hier sind einige Hinweise:

• Quantenalgorithmus für lineare Gleichungssysteme von Harrow, Hassidim und Lloyd. Dieses Papier zeigt, wie man spärliche lineare Gleichungssysteme sehr schnell löst.

• Quantenalgorithmen für lineare Algebra und maschinelles Lernen von Anupam Prakash. Diese Doktorarbeit schlägt einen schnellen Algorithmus für die Singularwertschätzung vor und präsentiert verschiedene Anwendungen.

Mathematisches Modell mit Matrix

Der HHL-Algorithmus befindet sich in den bereits erwähnten Links. Implementieren wir ihn auf einem Quantencomputer. Wir wollen ein lineares Gleichungssystem lösen x > = | b > Von diesem | x > = A - 1 | b $A|x> = |b>$$|x> = A^{-1} |b>$

$A = \begin{bmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$$b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A^{-1} . |b> = \begin{bmatrix} 0.75 \\ -0.25 \end{bmatrix}$

Quantenschaltungsdesign

Wir verwenden die Quantenschaltung in arXiv 1302.1210 mit 2 Qubits, ein Qubit mit Eingang b. Das zweite Qubit ist ein Ancilla-Bit und eine Eins am Ausgang bedeutet, dass die Ausgabe bereit ist. Die Schaltung verwendet eine PEA-Schaltung (Gate R) als Eingang und eine inverse PEA-Schaltung am Ausgang. Die Phasenschätzung oder PEA wird verwendet, um den Quantenzustand von | b> auf einer bestimmten Basis zu zerlegen, und die Eigenwerte von A werden in einem Eigenwertregister gespeichert. Das Rotationstor R (y) transformiert sich mit einem Winkel in Abhängigkeit vom Wert im Eigenwertregister. Dann führen wir eine umgekehrte PEA durch, um den Eigenwert zu berechnen und die Antwort zu finden. Im Quantencomputer kann nur die Möglichkeit gemessen werden, eine 1 oder 0 zu finden.

Gate-Parameter

$\lambda_{1} = 1 \; \lambda_{2} = 2$$\theta = -2arccos \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} \\$

$\theta = -2arccos(1/2)= -2\dfrac{\pi}{3}$

quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/editor?codeId=9da9d545772273118671911e1078ac42