Warum machen wir Isomorphismus, Automorphismus und Homomorphismus?

Was sind die Hauptunterschiede zwischen diesen drei Begriffen Isomorphismus, Automorphismus und Homomorphismus in einfacher Laiensprache und warum machen wir Isomorphismus, Automorphismus und Homomorphismus?

Der Isomorphismus formalisiert den Begriff der gleichen Graphen. In dieser Abbildung sehen Sie beispielsweise drei isomorphe Diagramme

$G_1$$G_2$$f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

Es ist nicht schwer, für jedes Diagrammpaar auf dem Bild eine solche Bijektion zu finden.

$G_1 = G_2$

$f$$G$$v$$u$$u$$v$

$G$$u,v \in V(G)$$f:V(G) \mapsto V(G)$$f(u) = v.$

und wie Sie sehen können, "sieht" die Grafik ziemlich symmetrisch aus. Genau deshalb, weil es "viele" Automorphismen des beschriebenen Typs hat.

Graphhomomorphismen werden in der Regel nicht von Laien untersucht und dienen mehr oder weniger theoretischen Zwecken. Zum Beispiel sind sie eng mit dem Begriff der Scheitelpunktfärbungen verwandt . Siehe auch Hadwiger-Vermutung

$h:G\rightarrow G'$$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$e=(u,v) \in E$$(h(u),h(v))\in E'$

Nun ist ein Graph-Isomorphismus ein bijektiver Homomorphismus, was bedeutet, dass es sich bei seiner Umkehrung auch um einen Homomorphismus handelt. Wenn zwei Diagramme isomorph sind, dann sind sie im Wesentlichen dasselbe Diagramm, nur mit einer Neuetikettierung der Eckpunkte. Das Problem der Bestimmung, ob zwei Graphen zueinander isomorph sind, ist ein wichtiges Problem in der Komplexitätstheorie.

Schließlich ist ein Automorphismus ein Isomorphismus von einem Graphen zu sich selbst.