Ist das Schreiben einer Zahl als zwei Quadrate und das Schreiben der Faktoren einer Zahl gleich schwierig?

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Sei L1 und wie folgt:L2

L1={r:x,yZ such that x2+y2=r}

L2={(N,M):M<N,1<dM such that d|N}

AnspruchL1PL2

Skizzenbeweis

Wenn ich wissen will, ob .rL1

Die Anzahl der ganzzahligen Lösungen für ist gegeben durchx2+y2=r

g(r)=d|rχ(d) wobeiχ(x)=sin(πx2)={1 when x1 mod 41 when x3 mod 40 when 2|x

Dann ist . Die Antwort lautet also " ?" ist höchstens so schwer zu beantworten wie "Was sind die Teiler von ?"L1={r:g(r)0}rL1r

Was ich gerne wissen würde ist, ob dies umgekehrt wahr ist. Stimmt es, dass ich, wenn ich eine Maschine hätte, die mir in konstanter Zeit sagen könnte, ob , eine Maschine erstellen könnte, die antworten könnte: "ist ?" in Polynomzeit?rL1(M,N)L2

Motivationen

Diese Frage entstand aus einer Diskussion über diese Frage .

Entschuldigung Ich bin wirklich nur ein math.se-Mitglied, das sich verlaufen hat und zu cs.se übergegangen ist. Lassen Sie mich wissen, ob meine Frage klar ist und den Standards dieser Website entspricht. Gerne nehme ich Korrekturen vor.

Mason
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ich richtig? P
Mason
1
Ihre Reduktion ist korrekt, aber Ihre Schlussfolgerung, dass "so hart wie" ist, ist falsch. Sie zeigen nur , dass ist höchstens so hart wie . Insbesondere zeigen Sie tatsächlich, dass höchstens so schwer ist wie ein sehr eingeschränkter Fall von , was sehr einfach sein kann. L1pL2L1L2L1L2L1L2
Shaull
1
Anstatt "einen Kreis zu befriedigen", könnte ein besserer Begriff "eine Summe von zwei Quadraten" sein.
Yuval Filmus
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@Shaull, ich habe eine Sprache geändert, um Ihren Kommentar wiederzugeben.
Mason
1
Es ist bekannt, dass das Berechnen von bis zu einer randomisierten Polynomzeitverkürzung so schwierig wie das Faktorisieren ist. Siehe Bach, Miller und Shallit: Summen von Teilern, perfekten Zahlen und Factoring . dnd
Emil Jeřábek

Antworten:

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Hier ist die Situation, soweit ich das beurteilen kann:

Der effizienteste bekannte Weg, um die Mitgliedschaft in zu testen, ist der Faktor . Es scheint kein effizienterer Algorithmus bekannt zu sein.L1r

Es gibt jedoch keine offensichtliche Reduktion, um zu beweisen . Mit anderen Worten, wenn wir eine Maschine hätten, um zu entscheiden , gibt es keine einfache Möglichkeit, diese zur Faktorisierung zu verwenden. Wenn wir eine Zahl Faktor wollen , können wir ob prüfen , aber das gibt uns nur ein Bit an Information über die Faktoren von . Das Testen von Vielfachen von (dh ob für eine ganze Zahl ) liefert keine zusätzlichen Informationen, da das Wissen, ob ausreicht, um vorherzusagen, ob für alleL2PL1L1NNL1NNcNL1cNL1cNL1c>0. Das Testen anderer Zahlen scheint auch nicht offensichtlich zu helfen. (Das Testen, ob für eine andere Zahl scheint, scheint keine nützlichen Informationen zu liefern, wenn ; und ob wir eine Möglichkeit hatten, eine andere Zahl zu finden so dass , wir wissen bereits, wie man faktorisiert, aber natürlich wissen wir nicht, wie man das macht - daher ist es unwahrscheinlich, dass eine Zahl, die wir generieren können, uns etwas Nützliches gibt Informationen zu den Faktoren von ) Dies ist kein Beweis; es ist nur handgewellte Intuition.NL1Ngcd(N,N)=1Ngcd(N,N)1N

Es erscheint also plausibel, dass einfacher als , und es erscheint auch plausibel, dass sie dieselbe Schwierigkeit haben könnten. Weitere Ergebnisse zu diesem Thema sind mir nicht bekannt.L1L2

DW
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