Auf dimensionalen Mannigfaltigkeiten und Gittern

EDIT (von Tara B): Ich wäre immer noch an einem Hinweis auf einen Beweis dafür interessiert , da ich ihn selbst für meine eigene Arbeit beweisen musste.

Ich suche nach dem Beweis von Satz 4, der in diesem Artikel erscheint:

Eine unendliche Hierarchie von Schnittpunkten kontextfreier Sprachen von Liu und Weiner.

Satz 4: Eine dimensionale affine Mannigfaltigkeit kann nicht als endliche Vereinigung affiner Mannigfaltigkeiten ausgedrückt werden, von denen jede die Dimension oder weniger hat.n - $n$$n-1$

1. Kennt jemand einen Hinweis auf den Beweis?
2. Wenn die Mannigfaltigkeit endlich ist und wir eine natürliche Ordnung für die Elemente definieren, gibt es eine ähnliche Aussage in Bezug auf Gitter?

Einige Hintergrundinformationen zum Verständnis des Satzes:

Definition: Sei die Menge der rationalen Zahlen. Eine Teilmenge ist eine affine Mannigfaltigkeit, wenn wenn , und . M ⊆ Q n ( λ x + ( 1 - λ ) y ) ∈ M x ∈ M y ∈ $\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Definition: Eine affine Mannigfaltigkeit soll parallel zu einer affinen Mannigfaltigkeit wenn für einige . M M ' = M + a a ∈ Q$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Theorem: Jeder nicht-leerer affiner Verteiler parallel zu einem einzigartigen Unterraum . Dieses ist gegeben durch K K K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Definition: Die Dimension eines nicht leeren affinen Verteilers ist die Dimension des dazu parallelen Unterraums.

Intuitiv besagt der Satz, dass eine Linie keine endliche Vereinigung von Punkten ist, eine Ebene keine endliche Vereinigung von Linien usw. Der einfachste Beweis besteht beispielsweise darin, zu beobachten, dass eine endliche Vereinigung von Linien eine Fläche von Null hat, während a Flugzeug nicht.

Beobachten Sie konkreter, dass es ausreicht, die Behauptung für Mannigfaltigkeiten auf zu beweisen, indem Sie zu ihren Schließungen übergehen. Betrachten Sie eine affine Mannigfaltigkeit die durch die Menge der Lösungen für das lineare System ; Sein Abschluss wird genau die Menge von Lösungen für dasselbe System über , daher hat dieser Schritt keinen Einfluss auf die Dimension der beteiligten Verteiler. Auch die Schließung einer endlichen Vereinigung entspricht der Vereinigung der Schließungen. M⊆ Q n Ax=b R$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Beachten Sie nun, dass das dimensionale Lebesgue-Maß einer Mannigfaltigkeit der Dimension null ist. Daher ist das dimensionale Lebesgue-Maß für eine endliche Vereinigung solcher Mannigfaltigkeiten immer noch Null. Das dimensionale Maß einer dimensionalen Mannigfaltigkeit ist jedoch unendlich und daher ungleich Null.≤ d - 1 d d $d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

Was Ihre zweite Frage betrifft, bin ich mir nicht ganz sicher, was Sie meinen. Aber wenn das Basisfeld endlich ist , dann ist jeder -dimensionalen affine Verteiler über enthält Punkte. Nach einem ähnlichen Zählargument benötigen Sie also mindestensaffine Räume der Dimension , um einen affinen Raum der Dimension abzudecken .$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Hier ist ein messungsfreier Beweis, der für affine Mannigfaltigkeiten über einem beliebigen unendlichen Feld funktioniert (das Ergebnis ist für endliche Felder falsch).$\mathbb F$

Durch Induktion auf werden wir zeigen, dass eine affine Mannigfaltigkeit der Dimension keine endliche Vereinigung affiner Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner als .$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

Die Aussage ist klar für : Ein Punkt ist keine (endliche) Vereinigung leerer Mengen.$n=0$

Angenommen, die Aussage gilt für , wir zeigen sie für . Sei , wobei und . Betrachten Sie eine beliebige affine Untervielfalt der Dimension . Da , impliziert die Induktionshypothese, dass für einige , dh . Da es nur Mengen gibt und willkürlich war, folgt, dass nur endlich viele Untervielfaltigkeiten der Dimension$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$n B 0 v A B 0 A B 0 + a v a ∈ $A$$n$. Dies ist jedoch ein Widerspruch: Wenn wir eine solche Untermannigfaltigkeit beheben und einen Vektor parallel zur aber nicht zu , gibt es unendlich viele affine Untermannigfaltigkeiten von von der Form , wo .$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$