Betrachten Sie ein rationales Polytop , das mittels eines Trennungsorakels definiert wird. Das heißt, P kann implizit beschrieben werden als P = { x ∈ R k : A x ≤ b , A ∈ Z m × k , b ∈ Z m } , aber da m sehr groß ist, verwenden wir ein Orakel, das a gegeben ist Punkt x ∈ R k sagt entweder x ∈ P oder gibt einen halben Raum zurück, so dass x ∉ S..
Mein Ziel ist es, einen Punkt in zu finden oder festzustellen, dass P leer ist. Ich strebe eine polynomielle Laufzeit in der Darstellungsgröße von U und k an , wobei U der größte absolute Wert in A ist . Das heißt, der Algorithmus sollte nur viele Polynome für das Trennungsorakel verwenden.
Im Allgemeinen kann in einer Hyperebene niedrigerer Dimension enthalten sein, und daher ist es problematisch, die Ellipsoidmethode zu verwenden. Also ändere ich wie in Khachiyans Trick P (und das Trennungsorakel), um P ϵ zu verwenden , wobei ϵ so etwas wie 1 / U ist . Intuitiv sind die Halbräume, die P ϵ definieren, dieselben wie diejenigen, die P definieren, nur dass sie durch ϵ übersetzt werden . Das Polytop P ϵ hat die folgenden Eigenschaften: P ϵ ist leer, wenn P leer ist, und wenn P nicht leer ist, ist volldimensional.
Meine Frage lautet wie folgt: Angenommen, der Algorithmus findet einen Punkt . Ist es möglich, mit p einen Punkt in P zu erzeugen ?
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