Was sind die Folgen von

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Wir wissen , dass LNLP und dass LNLL2 polyL , wobei L2=DSPACE(log2n) . Wir wissen auch , dass polyLPweil letztere unter logarithmischen Raum-Viel-Eins-Reduzierungen vollständige Probleme haben, während erstere dies nicht tut (aufgrund des Raumhierarchiesatzes). Um die Beziehung zwischen dem zu verstehen , polyL und P , kann es helfen , die Beziehung zwischen dem ersten zu verstehen L2 und P .

Was sind die Folgen von L2P ?

Was ist mit dem stärkeren LkP für k>2 , oder den schwächeren L1+ϵP für ϵ>0 ?

Argentpepper
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@OrMeir Ich habe kürzlich dem Wikipedia-Artikel für polyL eine Erklärung für diesen Umstand hinzugefügt .
Argentpepper
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L2PLPLL2
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Gute Frage! Ich denke, es ist definitiv eine Prämie wert. Übrigens ist hier eine einfache Beobachtung, wenn , dann . Daher haben wir einen effizienteren Algorithmus für CNF-SAT und wir widerlegen ETH (Exponential Time Hypothesis). D S P A C E ( n ) D T I M E ( 2 O ( L2PDSPACE(n)DTIME(2O(n))
Michael Wehar
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Nach @ MichaelWehars Kommentar folgt die Implikation aus einem Standard- Auffüllargument, das sich auf schwächere Hypothesen erstreckt: Wenn in , kann jedes Problem, das im linearen Raum gelöst werden kann (einschließlich des Erfüllbarkeitsproblems), gelöst werden gelöst werden in der Zeit . P 2 O ( n 1L1+ϵP2O(n11+ϵ)
Argentpepper
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@SajinKoroth: Ich denke, Ihr Kommentar sowie Michael Wehars (und Argentpeppers Follow-up) sollten Antworten sein ...
Joshua Grochow

Antworten:

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Das Folgende ist eine offensichtliche Konsequenz: impliziert und daher .L P L PL1+ϵPLPLP

Nach dem ist . Wenn dann .L 1 + εP LL 1 + εPϵ>0:LL1+ϵL1+ϵPLL1+ϵP

Sajin Koroth
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Kleine Fußnote: Wenn , dann haben wir oder . P N L N L LPLPNLNLL
Michael Wehar
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L2P würde die Exponentialzeithypothese widerlegen .

Wenn dann durch ein Auffüllargument . Dies bedeutet, dass das Erfüllbarkeitsproblem in Schritten entschieden werden kann, wobei die Exponentialzeithypothese widerlegt wird.L2P DSPACE(n)DTIME(2O(n))SATDSPACE(n)2o(n)

Im Allgemeinen impliziert für .DSPACE(logkn)Pk1SATDSPACE(n)DTIME(2O(n1k))

(Diese Antwort wurde aus einem Kommentar von @MichaelWehar erweitert.)

Argentpepper
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Vielen Dank für die Erweiterung des Kommentars! Ich schätze es. :)
Michael Wehar
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Darüber hinaus impliziert die letzte Hypothese auch, dass sich in DSPACE ( ) DTIME ( . QBFn2O(n1k)
Michael Wehar
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Gruppenisomorphismus (mit Gruppen, die als Multiplikationstabellen angegeben sind) wurde in P. Lipton, Snyder und Zalcstein gezeigt, dass dieses Problem in , aber es ist immer noch offen, ob es sich in P. The best current upper bound befindet ist -Zeit, und da es sich auf Graph-Isomorphismus reduziert, ist es ein bedeutendes Hindernis, Graph-Iso in P zu setzen.L2nO(logn)

Ich frage mich, auf welche anderen natürlichen und wichtigen Probleme dies zutreffen würde: nämlich in aber mit ihrem bekanntesten Quasi-Polynom.L2

Joshua Grochow
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Das allgemeinere Problem des Quasigruppen-Isomorphismus liegt in , einer Unterklasse von . β2FOLLL2
Argentpepper
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Auch das Gruppenrangproblem (wenn eine endliche Gruppe G als Multiplikationstabelle und eine ganze Zahl k gegeben sind , hat G eine generierende Menge von Kardinalitäten k ?) Hat diese Eigenschaft. Der Algorithmus ist nur eine Suche über die Untergruppen von G der Kardinalität k , verwendet jedoch zwei wichtige Fakten: (1) Jede endliche Gruppe hat einen Satz logarithmischer Größe und (2) die Untergruppenzugehörigkeit ist in , was gleich . SLL
Argentpepper
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Behauptung: Wenn für etwas , dann und .LkPk>2Plog(CFL)PNL

Angenommen, für ein .LkPk>2

Aus " Speichergrenzen für die Erkennung kontextfreier und kontextsensitiver Sprachen " wissen wir, dass . Durch den Satz der Raumhierarchie wissen wir, dass .CFLDSPACE(log2(n))DSPACE(log2(n))DSPACE(logk(n))

Daher erhalten wir .log(CFL)DSPACE(log2(n))DSPACE(logk(n))P

Nach dem Satz von Savitch wissen wir auch, dass . Daher erhalten wir .NLL2NLDSPACE(log2(n))DSPACE(logk(n))P

Michael Wehar
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