Bei einem Problem, an dem ich gerade arbeite, tritt natürlich eine Erweiterung des Lärmoperators auf, und ich war gespannt, ob es vorher Arbeiten gegeben hat. Lassen Sie mich zunächst den Basis-Rauschoperator für realwertige Boolesche Funktionen überarbeiten . Bei einer Funktion und , st , , definieren wir als
y n 1 p 0 x p T ε 1 T ε 2 = T ε 1 ε 2 T ε ( χ S ) = ε | S | χ S χ S ist die Verteilung auf erhalten wird, indem jedes Bit eines Bit-Vektors unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit und ansonsten mit auf . Entsprechend können wir uns diesen Prozess so vorstellen, dass jedes Bit von mit der unabhängigen Wahrscheinlichkeit gespiegelt wird . Nun hat dieser Rauschoperator viele nützliche Eigenschaften, einschließlich multiplikativer und schöner Eigenwerte und Eigenvektoren ( wobei zur Paritätsbasis gehört).
Lassen Sie mich nun meine Erweiterung von , die ich als . ist gegeben durch . Aber hier unser Vertrieb ist so , dass wir die Flip Bits von bis mit Wahrscheinlichkeit und Bits von bis mit einer Wahrscheinlichkeit . ( ist jetzt eindeutig eine Verteilung, die von dem abhängt, in dem die Funktion ausgewertet wird, und wennR ( p 1 , p 2 ) R ( p 1 , p 2 ) → R R ( p 1 , p 2 ) f ( x ) = E y ≤ μ p , x [ f ( x + y ) ] μ p , x 1 x 0 p 1 0 x 1 pμ p , x x p 1 = p 2dann reduziert sich auf den 'regulären' Rauschoperator.)
Ich habe mich gefragt, ob dieser Operator bereits irgendwo in der Literatur gut studiert wurde. Oder sind die grundlegenden Eigenschaften davon offensichtlich? Ich beginne gerade mit der Booleschen Analyse, daher ist dies für jemanden, der mit der Theorie besser vertraut ist als ich, möglicherweise unkompliziert. Insbesondere interessiert mich, ob die Eigenvektoren und Eigenwerte eine nette Charakterisierung haben oder ob es eine multiplikative Eigenschaft gibt.
quelle