Linear unabhängige Fourier-Koeffizienten

Eine grundlegende Eigenschaft von Vektorräumen ist, dass ein Vektorraum der Dimension durch linear unabhängige lineare Nebenbedingungen charakterisiert werden kann - das heißt, es gibt linear unabhängige Vektoren , die zu orthogonal sind .$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

Aus einer Fourier Sicht ist dies äquivalent zu der Aussage , dass die Indikatorfunktion von ist linear unabhängige Nicht-Null - Fourier - Koeffizienten. Man beachte , dass hat ungleich Null Fourierkoeffizienten insgesamt, aber nur von ihnen sind linear unabhängig.$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

Ich suche eine ungefähre Version dieser Eigenschaft von Vektorräumen. Konkret suche ich eine Stellungnahme in folgender Form:

Sei $S \subseteq \mathbb{F}_2^n$ von der Größe . Dann hat die Indikatorfunktion höchstens linear unabhängige Fourier-Koeffizienten , deren Absolutwert mindestens beträgt .$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

Diese Frage kann aus der Perspektive "Struktur vs. Zufälligkeit" betrachtet werden. Intuitiv besagt eine solche Behauptung, dass jede große Menge in eine Summe aus einem Vektorraum und einer kleinen voreingenommenen Menge zerlegt werden kann. Es ist bekannt, dass jede Funktion in einen "linearen Teil" zerlegt werden kann, von dem großes Fourier hat Koeffizienten und ein "Pseudozufallsteil", der eine geringe Vorspannung aufweist. Meine Frage lautet, ob der lineare Teil nur eine logarithmische Anzahl linear unabhängiger Fourier-Koeffizienten hat.$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Ist das Folgende nicht ein Gegenbeispiel?

Sei die Mehrheit von x 1 , … , x 1 / ϵ 2 , was ein Indikator für eine Menge von 2 n / 2 ist , also ist d = 1 . Allerdings f ( { i } ) = Θ ( ε ) für 1 ≤ i ≤ 1 / ε 2 , so haben Sie 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ linear unabhängige große Fourier-Koeffizienten.

Vielleicht möchten Sie, was manchmal "Chang's Lemma" oder "Talagrand's Lemma" genannt wird ... hier als "Level-1-Ungleichung" bezeichnet werden: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

Dies impliziert, dass, wenn einen Mittelwert von 2 - d hat, die Anzahl der linear unabhängigen Fourier-Koeffizienten, deren Quadrat mindestens γ 2 - d ist, höchstens O ( d / γ 2 ) beträgt . (Dies liegt daran, dass eine F 2 -lineare Transformation am Eingang den Mittelwert nicht ändert. Sie können also immer linear unabhängige Fourier-Zeichen auf Grad 1 verschieben.)$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$