Genaue Komplexität eines Problems in

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Sei xich{- -1,0,+1}} für ich{1,,n}} mit dem Versprechen, dass x=ich=1nxich{0,1}} (wobei die Summe über Z. ). Wie komplex ist es dann zu bestimmen, ob x=1 ?

Beachten Sie, dass das Problem trivial in m2EINC.0[m]] weil x1modm iff x=1 . Die Frage ist: Liegt das Problem in EINC.0 ? Wenn ja, wie sieht die Schaltung dies aus? Wenn nicht, wie beweist man das?

SamiD
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Dieses Problem mag trivial sein, aber ich kenne die Antwort nicht und wäre sehr daran interessiert, sie zu kennen.
SamiD

Antworten:

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Sie können das übliche Switching-Lemma-Argument verwenden. Sie haben nicht erklärt, wie Sie Ihre Eingabe in Binärform darstellen, aber unter jeder vernünftigen Codierung ist die folgende Funktion AC 0 - äquivalent zu Ihrer Funktion: f ( x 1 , , x n ) = { 0, wenn  x 1 - x 2 + x 3 - x 4 + - x n = 0 , 1, wenn  x 1 - x 2 + x 30 (Wir nehmen an, dassn geradeist.)Nehmenwir an, dass Siediesen Vorlesungsnotizenfolgen

f(x1,,xn)={0wenn x1- -x2+x3- -x4+- -xn=0,1wenn x1- -x2+x3- -x4+- -xn=1,?Andernfalls.
n durch eine Tiefenschaltung d der Größe n b berechnet werden kann. Danneine Zufalls Beschränkung n - n 1 / 2 d Eingänge Blätter eine Funktion der Entscheidungsbaum Komplexität höchstens 2 d ( b + 1 ) + 1 mitWahrscheinlichkeit von mindestens 1fdnbn- -n1/.2d2d(b+1)+1 . Eine Berechnung wird wahrscheinlich zeigen, dass dies eine weitere Instanz von f (bei einer kleineren Eingabegröße) mit der Wahrscheinlichkeit Θ ( 1 / √) ist1- -1/.(3n)f, und so gibt es einige zufällige Restriktions die sowohl eine Instanz ergibtfaufn 1 / 2 D - Eingänge und eine Funktion mit konstanter Entscheidungsbaum Komplexität, zu einem Widerspruch führt. Das gleiche Argument sollte exponentielle Untergrenzen ergeben.Θ(1/.n)fn1/.2d
Yuval Filmus
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Ich denke, die Gesamtempfindlichkeit dieser Funktion wird auch , also könnten Sie das wahrscheinlich verwenden, um die exponentielle Untergrenze in meiner Antwort zu erhalten. Das Ergebnis, das ich dort zitiere, verwendet das Linial-Mansour-Nisan-Theorem, das selbst das Schalt-Lemma + einfache Grenzen für das Funktionsspektrum mit geringer Entscheidungsbaumkomplexität verwendet. Θ(n)
Sasho Nikolov
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xich=0xich=2x{- -1,1}}n

sdf::{- -1,1}}n{0,1}}f(x)=ichxichichxich{0,2}}xichxich=02- -n(nn/.2)n- -1/.2xn/.2ffΩ(n1/.2)

s2Ω(n1/.(2d- -2)).
Sasho Nikolov
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