Algebraisch kompakte Kategorien

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Ich habe Freyds Artikel "Algebraically Complete Categories" in der berühmten Como90 gelesen und habe zwei Fragen zu dem Begriff der algebraischen Kompaktheit, den er in diesem Artikel definiert hat. (Wenn Sie mit der Definition nicht vertraut sind, ist es hier: Eine Kategorie heißt algebraisch kompakt, wenn jeder Endofunktor eine initiale Algebra und eine finale Co-Algebra hat, die kanonisch isomorph sind.)

  1. Was sind einige Beispiele für algebraisch kompakte Kategorien? Freyd nennt ein Beispiel, aber genau genommen gilt die Bedingung in der Definition nur für bestimmte interessierende Endofunktoren. Beim Lesen anderer Artikel (wie "Funktionales Programmieren mit Bananen, Linsen, Umschlägen und Stacheldraht") schätze ich, dass die Kategorien von Cpos, Omega-Cpos oder Kategorien, die über (Omega) Cpos angereichert sind, algebraisch kompakt sind. Was ist die Standardreferenz für diese Tatsache?

  2. Freyd sagt, dass die Definition durch das "Prinzip der Vielseitigkeit" motiviert ist, und da ich kein Englisch spreche, bin ich verwirrt. Zunächst sollte es ein Prinzip sein, nicht ein Prinzip. Was ist auch Versalität? Bedeutet er Vielseitigkeit? Ist das ein Spiel mit Worten wie (Uni-) Vielseitigkeit?

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Da ich kein Experte für "Algebraically Complete Categories" bin, möchte ich dies nicht beantworten, sondern ein englischer Muttersprachler sein ... auf Ihrer Nr. 2 scheint "Schulleiter" ein vollständiger Tippfehler zu sein, zumal er es missbraucht das Wort noch einmal, aber in einem anderen grammatikalischen Kontext, auch im folgenden Satz. Er hätte "Prinzip" verwenden sollen. Andererseits ist "Versalität" - vom Wort "Versalität" - eine (archaische) Abkürzung von "Universalität" / "Universalität". Nun, ich bin nicht einer, der sich mit einem NAMING-Autor auseinandersetzt, aber es scheint, als wollte er "Prinzip der Universalität" sagen
Daniel Apon,
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Lassen Sie mich das Obige abändern: "Versalität" kann in Ihrem Kontext eine formale Definition haben, die sich von "Universalität" unterscheidet. Bitte überprüfen Sie dies. :) Siehe zum Beispiel den Anhang von arxiv.org/pdf/1109.6093v4.pdf
Daniel Apon,
Ich stimme zu, dass "Versal" nicht dasselbe ist wie "Universal". Zum Beispiel gibt es in der Singularitätstheorie den Begriff der Versalverformung , was ungefähr bedeutet, dass alle möglichen Verformungen eingeschlossen sind, aber vielleicht nicht eindeutig, dh sie können mehrmals auftreten.
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Ich halte es für besonders wichtig, diese in der Informatik zu unterscheiden. Z.B. Bei den meisten aufzählbaren Mengen trifft jede mögliche Aufzählung unendlich viele Elemente der Menge unendlich oft. Eins-zu-eins ( " uni Versal") Aufzählungen sind selten.
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Antworten:

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Ich habe die Referenz für CPO-ähnliche Kategorien gefunden. Scotts Arbeit Continuous Lattices im Buch Toposes, Algebraic Geometry and Logic . Es wird in den Kommentaren direkt nach Folgerung 4.3 erläutert. Ein allgemeineres Theorem findet sich in Smyths und Plotkins Arbeit Category-Theoretic Solution of Recursive Domain Equations . Es ist Lemma 2.

Die Funktoren sind jedoch wiederum nicht beliebig. Man braucht eine Art Kontinuitätsannahme.

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