Beispiel dafür, wo eine Verletzung der strengen Positivitätsbedingung bei induktiven Typen zu Inkonsistenzen führt

Die meisten abhängigen typisierten Systeme haben strenge Positivitätsbedingungen für induktive Typen. Kennt jemand ein Beispiel, bei dem eine Verletzung der Bedingung zu Inkonsistenzen im System führt?

Es ist tatsächlich möglich, strenge Positivität zu lockern und konsequent zu bleiben. Zum Beispiel reicht es aus, nur eine Positivitätsbedingung zu haben. Das heißt, wir können Typdefinitionen wie akzeptieren

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

Dabei treten rekursive Typvariablen links von einer geraden Anzahl von Pfeilen auf und behalten die Konsistenz bei.

$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Da abhängige Typentheorien häufig zur Formalisierung der Mathematik verwendet werden, zögern ihre Designer normalerweise, Prinzipien hinzuzufügen, die nicht mit einer satztheoretischen Semantik kompatibel sind, selbst wenn sie konsistent sind.

$T$

$F$$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

$F$$F : \ast \to \ast$

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ $\mathrm{map}\;id = id$$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Jetzt können wir einen Typoperator für das Doppel-Powerset definieren

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

$T = \mu C$