Mehrdimensionale arithmetische Progressionsvariante

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Für dNn sei Q(d)Nn die Menge der Eckpunkte des n dimensionalen Würfels, skaliert in Richtung der i ten Koordinate durch di , dh Q(d={±d1,,±dn} .

Betrachten Sie das folgende Problem:

Enthält die Menge bei einer Menge von Punkten in Nn und der Zahl k eine n dimensionale arithmetische Folge der Länge k ?

Formeller,

Eingabe:
gegeben eine endliche Menge XNn und eine positive ganze Zahl kN+ .

Frage:
Gibt es oNn und d(N+)n so dass o+Q(id)X für alle ganzen Zahlen 0ik ?

Informell betrachten wir die Eindämmung der Eckpunkte von skalierten n dimensionalen achsenausgerichteten Würfeln, die bei zentriert sind o.

Hat dieses Problem einen Namen? Was ist ihre Komplexität? Können wir es mit dynamischer Programmierung lösen?

Marzio De Biasi
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Wir haben diesen Experten für den Nachweis der NP-Vollständigkeit hier bei cstheory.SE: Sie sollten ihn fragen. Er heißt Marzio ... oh warte.
Suresh Venkat
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@SureshVenkat: Ich habe ihn bereits gefragt, aber es scheint, dass er in diesen Wochen ein bisschen "außer Betrieb" ist :-)
Marzio De Biasi
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a0Xa0iQi(a0)a0aQi(a0)X|X|a0|X|+1X
2
X
2
X|X|2Xn=1

Antworten:

3

X


Beispiel : Satz von Szemeredi

Wenn eine Teilmenge eine positive "Dichte" in Ihrem Gitter hat, hat sie unendlich viele arithmetische Progressionen beliebiger Länge.

density(E)=lim supN|E[1,N]|N0

Sei eine positive obere Dichte, dann hat eine nicht triviale terminale arithmetische Progression.ENEk


Sie können sich durchaus vorstellen, nach Vektoren zu suchen, die in verschiedenen Mustern angeordnet sind, anstatt Ihre Aufmerksamkeit auf .Z

Das Buch vereinfacht die sehr technische Fourier-Analyse und Wahrscheinlichkeit und ersetzt sie durch weniger technische Fourier-Theorie und Wahrscheinlichkeit. 😐 Sie zerlegen die Hochleistungsmathematik in Lemma und Theorem, die für spezifischere Probleme nützlich sind. 😃


Beispiel Betrachten Sie eine Zufallsmengemit der Wahrscheinlichkeit. Alle 3 gleichmäßig verteilten Zahlenelementewerden inmit der Wahrscheinlichkeit, sodass wir in der Zufallsmengeviele arithmetische Progressionen erwarten können.E[1,N]P[kE]=12a,a+d,a+2dNE18E

Das andere Extrem ist die Verwendung der Bodenfunktion . Dies ist ungefähr so ​​"geordnet" wie möglich und es wird auch viele arithmetische Abläufe beliebiger Länge geben.{[n7]:nZ}={[0,2,5,7,10,13,15,18,21,23,}


Dann liegt es an Ihnen, die Laufzeitaspekte der Algorithmen zu berücksichtigen, die sie implizieren. Es muss nicht unbedingt einfach sein, arithmetische Folgen in den Primzahlen oder quadratfreien Zahlen zu finden, selbst wenn wir wissen, dass sie existieren.

John Mangual
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