Wofür sind Bounded Treewidth Circuits gut?

Man kann von der Baumbreite einer Booleschen Schaltung sprechen , indem man sie als die Baumbreite des "moralisierten" Graphen auf Drähten (Eckpunkten) definiert, die wie folgt erhalten wird: Verbinde die Drähte $a$ und $b$ wenn $b$ der Ausgang eines Gatters mit $a$ als Eingang ist (oder und umgekehrt); Schließen Sie die Drähte $a$ und $b$ wenn sie als Eingänge für dasselbe Gate verwendet werden. Bearbeiten: Man kann die Baumbreite des Stromkreises genauso definieren wie die des Graphen, der ihn darstellt. Wenn wir die Assoziativität verwenden, um alle UND- und ODER-Gatter erneut einzuschalten, um höchstens zwei Fan-Ins zu erhalten, ist die Baumbreite nach beiden Definitionen bis zu einem Faktor $3$ .

Es gibt mindestens ein Problem, von dem bekannt ist, dass es im Allgemeinen nicht wahrnehmbar, aber auf Booleschen Schaltkreisen mit begrenzter Baumbreite wahrnehmbar ist: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeit, dass jede der Eingangsleitungen auf 0 oder 1 gesetzt wird (unabhängig von den anderen) ein bestimmtes Ausgangsgatter ist 0 oder 1. Dies ist im Allgemeinen # P-schwer durch eine Reduzierung von z. B. # 2SAT, aber es kann in PTIME auf Schaltungen gelöst werden, deren Baumbreite unter Verwendung des Junction-Tree-Algorithmus als kleiner als eine Konstante angenommen wird .

Meine Frage ist zu wissen, ob es neben der Wahrscheinlichkeitsberechnung noch andere Probleme gibt , von denen bekannt ist, dass sie für baumbreitenbeschränkte Schaltkreise schwer zu lösen sind, oder deren Komplexität als Funktion der Schaltkreisgröße und auch ihrer Baumbreite beschrieben werden kann. Meine Frage ist nicht spezifisch für den Booleschen Fall; Ich interessiere mich auch für arithmetische Schaltungen über andere semirings. Sehen Sie solche Probleme?

$k \in \mathbb{N}$$k$$k$

Die sogenannten d-SDNNFs sind Schaltungen, die Bedingungen für die Verwendung von Negation (nur an den Blättern), Determinismus (die Eingaben in OR-Gates schließen sich gegenseitig aus) und Zerlegbarkeit (die Eingaben in AND-Gates hängen von disjunkten Mengen von Variablen ab) erfüllen ) und Strukturiertheit (die UND-Gatter teilen die Variablen auf eine feste Weise in der gesamten Schaltung auf, wie durch einen V-Baum beschrieben). Diese Klasse wurde in der Wissenskompilierung studiert und es ist bekannt, dass Tractable SAT und Tractable Model Counting (Wiedererfassung der probabilistischen Bewertung und Zählung) angewendet werden können. Es wurden jedoch auch andere Probleme für diese Klasse untersucht, wie z. B. Aufzählung , Quantifizierung usw.

Eine Möglichkeit, Grenzen für die Breite einer Schaltung zu verwenden, besteht darin, sie in diese d-SDNNF-Klasse umzuwandeln, die explizitere Eigenschaften in Bezug auf die Schaltungssemantik aufweist und für die mehrere bekannte Ergebnisse für die Traktierbarkeit verschiedener Aufgaben vorliegen.