Kategoriale Semantik für nicht monotone Logik?

Gibt es eine kategoriale Semantik für nicht monotone Logik?

Es scheint, dass die einfache Antwort darauf "Nein" ist, da der offensichtliche Begriff der Komposition für jedes Modell einer nicht-monotonen Logik fehlschlägt. Aber gibt es ein Modell, das tatsächlich mit einem entsprechend definierten Begriff der Komposition arbeitet?

Nicht-monotone Logik ist ein weites Feld - haben Sie eine bestimmte Logik im Sinn? Wie auch immer, definitiv vorausgesetzt :) das

1. Sie interessieren sich für jede Logik, bei der das Prinzip der Monotonie versagt, und
2. Sie wollen also eine kategoriale Semantik im Sinne einer kategorialen Beweistheorie (und nicht etwa eine hyperdoktrine Semantik)

Eine Antwort ist, dass Sie jeder Logik, für die ein sequentieller Kalkül mit Cut-Elimination bekannt ist, eine vernünftige kategoriale Semantik geben können. Grundsätzlich sind die Typen Objekte, normale Formen des sequentiellen Kalküls sind Morphismen, und die Eliminierung von Schnitten zeigt Ihnen, wie Sie die Komposition implementieren. Dies gibt Ihnen die erste Kategorie in jeder Kategorie von Modellen, die Sie letztendlich verwenden, um die Solidität und Vollständigkeit zu beweisen.

A B A B A X $A \multimap B$$A$$B$$A$$B$$A$$X$$B$). Es hat jedoch eine ausgezeichnete Beweistheorie und seine kategorialen Modelle sind eng mit der Theorie der monoidalen Kategorien verbunden.

[Ich entschuldige mich dafür, dass ich dies als Antwort geschrieben habe, obwohl es im Grunde nur ein Kommentar zur vorherigen Antwort ist. Aber ich darf dort oben keinen Kommentar posten, da ich nicht genug "Ruf" habe]

Die vorherige Antwort ist nicht korrekt. Die lineare Logik (sowie jedes ihrer Unterbausysteme: MLL, MALL, MELL, ALL, was auch immer Sie wollen ...) ist perfekt monoton .

Neels Antwort verwechselt "Relevanz" und "Nicht-Monotonie".

Relevanz kann als Nicht-Monotonie des Inferenzverbinders des Systems angesehen werden . Die lineare Logik ist insofern relevant, als die Beweisbarkeit von nicht die Beweisbarkeit von impliziert . Relevanz ist eine Art innere Nicht-Monotonie der Logik.⊢ X ⊗ A ⊸ $\;\vdash A \multimap B$$\vdash X\otimes A \multimap B$

Auf der anderen Seite werden nicht monotone Logiken als Systeme bezeichnet, bei denen die Beweisbarkeit des Systems selbst nicht monoton ist: Durch Hinzufügen eines neuen Elements zum Satz von Formeln wird der Satz von nachweisbaren Formeln geändert. Es ist eine Form der Meta- Nicht-Monotonie, weil es um Beweisbarkeit geht und nicht um den Konnektor der Folgerung. Die lineare Logik ist monoton: Sie können dem Satz von Formeln und jedem neuen Axiom oder jeder neuen Inferenzregel alles hinzufügen, was Sie wollen, aber wenn Sie zuvor einen Beweis für die Folge hatten, werden Sie es tun Habe es jetzt noch, denn du hast die anderen Inferenzregeln des sequentiellen Kalküls nicht geändert.$\;\Gamma \vdash M: A$

Soweit ich weiß, ist es schwierig, (echte) nicht-monotone Logiken in einer sequentiellen Kalkülform mit Cut-Elimination oder einer anderen Art von Beweissystem mit einem äquivalenten Begriff der Beendigung der Beweisreduktion niederzulegen. Deshalb würden die traditionellen kategorialen semantischen Ansätze für sie kaum funktionieren.